[論文レビュー] Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming

Feng Guo, Xiaoxia Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、和の平方（s.o.s.）表現とPutinarのPositivstellensatzを活用して収束を達成する、線形半無限多項式プログラミング（LSIPP）問題のための半定値計画（SDP）緩和の階層を提案する。この手法により、近似最小化解の抽出と収束速度の推定が可能となり、より広範な半無限計画問題へも拡張可能である。

ABSTRACT

This paper studies a class of so-called linear semi-infinite polynomial programming (LSIPP) problems. It is a subclass of linear semi-infinite programming problems whose constraint functions are polynomials in parameters and index sets are basic semialgebraic sets. We present a hierarchy of semidefinite programming (SDP) relaxations for LSIPP problems. Convergence rate analysis of the SDP relaxations is established based on some existing results. We show how to verify the compactness of feasible sets of LSIPP problems. In the end, we extend the SDP relaxation method to more general semi-infinite programming problems.

研究の動機と目的

• 基本的半代数的集合上の多項式制約を有する線形半無限多項式プログラミング（LSIPP）問題のためのSDP緩和の階層を構築すること。
• PutinarのPositivstellensatzからの複雑性バウンドを用いて、SDP緩和の収束速度の推定を確立すること。
• 補助的なSDP緩和を用いて、LSIPP問題の実行可能集合のコンパクト性を計算可能に検証する手法を提供すること。
• 半代数的制約またはs.o.s-凸目的関数を有するより一般的な半無限計画問題へ、SDP緩和フレームワークを拡張すること。
• 関数近似などの応用において有用な、SDP緩和から近似最小化解を抽出可能にすること。

提案手法

• LSIPPを一般化されたモーメント問題（GMP）として定式化し、PutinarのPositivstellensatzに基づく双対的SDP緩和の階層を導出する。
• 和の平方（s.o.s.）表現を用いて元の問題を高次元空間に挙上することで、SDP緩和の階層を構築する。
• コンパクト集合上での非負多項式のs.o.s.表現を用いて、緩和列の収束を保証する。
• 補助的なLSIPP問題を解き、SDP緩和を用いて正の下界を計算することで、LSIPPの実行可能集合のコンパクト性を検証する。
• s.o.s-凸目的関数と半代数的制約を扱うことで、一般SIP問題への拡張を実現し、等価なSDP定式化を用いる。
• シュールの補題と行列不等式表現を用いて、得られた最適化問題を標準的なSDP形式に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な仮定の下で、LSIPP問題に対してグローバル最適解への収束を保証するSDP緩和の階層を構築できるか？
• RQ2 既存の複雑性結果を用いて、SDP緩和の階層の収束速度をどのように推定できるか？
• RQ3 LSIPP問題の実行可能集合がコンパクトであるための条件は何か？ また、そのコンパクト性はどのように計算可能に検証できるか？
• RQ4 非多項式的またはs.o.s-凸目的関数を有するより一般的な半無限計画問題へ、SDP緩和フレームワークを拡張できるか？
• RQ5 実際の応用において、SDP緩和の階層から近似最小化解をどの程度の精度で抽出できるか？

主な発見

• 標準的な仮定（モーメント錐のアーケィメデス性を含む）の下で、提案されたSDP緩和の階層はLSIPP問題のグローバル最適値に収束することが保証される。
• PutinarのPositivstellensatzからの複雑性バウンドを用いて収束速度の推定が得られ、収束速度の理論的保証が得られる。
• 有限個の補助的LSIPP問題をSDP緩和で解くことで、LSIPPの実行可能集合のコンパクト性を検証可能であり、有限収束により計算可能な下界が得られる。
• Sが閉かつ有界な区間であるLSIPP問題では、SDP緩和の階層の有限収束が保証され、コンパクト性の正確な検証が可能となる。
• 数値例（例 4.6 では誤差 × 10^{-6} の高精度）により、SDP緩和から近似最小化解を抽出できることを示している。
• s.o.s-凸目的関数を有する一般SIP問題へも拡張可能であり、適切な条件下では緩和問題が単一のSDPに簡略化されることが示されており（定理 4.5 及び 例 4.7）、有効である。