[論文レビュー] Semigroups and sequential importance sampling for multiway tables

Ruriko Yoshida, Jing Xi+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固定周辺制約下で再帰的反復法を用い、拒否なしに一様分布下で連続的表を生成する多項式時間の逐次重要度抽出（SIS）アルゴリズムを提案する。設計行列のサイズが固定されている場合、SISは有効に動作することを証明しているが、実際には特にロジスティック回帰モデル下で拒否率が依然として高い。

ABSTRACT

When an interval of integers between the lower bound $l_i$ and the upper bound $u_i$ is the support of the marginal distribution $n_i|(n_{i-1}, ...,n_1)$, Chen et al, 2005 noticed that sampling from the interval at each step, for $n_i$ during a sequential importance sampling (SIS) procedure, always produces a table which satisfies the marginal constraints. However, in general, the interval may not be equal to the support of the marginal distribution. In this case, the SIS procedure may produce tables which do not satisfy the marginal constraints, leading to rejection Chen et al 2006. In this paper we consider the uniform distribution as the target distribution. First we show that if we fix the number of rows and columns of the design matrix of the model for contingency tables then there exists a polynomial time algorithm in terms of the input size to sample a table from the set of all tables satisfying all marginals defined by the given model via the SIS procedure without rejection. We then show experimentally that in general the SIS procedure may have large rejection rates even with small tables. Further we show that in general the classical SIS procedure in Chen et al, 2005 can have a large rejection rate whose limit is one. When estimating the number of tables in our simulation study, we used the univariate and bivariate logistic regression models since under this model the SIS procedure seems to have higher rate of rejections even with small tables.

研究の動機と目的

• 固定周辺制約下で連続的表をサンプリングする拒否なしSIS手順の開発。
• 設計行列サイズが固定されている場合にSISが拒否なしで効率的に動作する条件の確立。
• 古典的SIS手法の実践的拒否率の調査、特にロジスティック回帰モデル下での分析。
• さまざまなモデル仮定下での連続的表の数の推定におけるSISの性能評価。

提案手法

• 逐次的重要な抽出（SIS）を用いて、以前の要素に条件づけながら段階的に多方向連続的表を生成する。
• すべての周辺制約を満たす表をサンプリングするためのターゲット分布として一様分布を適用する。
• 設計行列の行数と列数が固定されている場合、SISが拒否なしに多項式時間で動作することを証明する。
• univariateおよびbivariateロジスティック回帰モデルを用いて、SISにおける拒否率のシミュレーションと分析を実施する。
• 条件付き分布のサポートを分析し、境界内でのサンプリングが周辺制約の満たし方を保証するかを検討する。
• シミュレーションスタディを用いて、さまざまなモデル設定下での拒否率とサンプリング効率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で逐次的重要な抽出（SIS）が、すべての周辺制約を満たす連続的表を拒否なしに生成できるか？
• RQ2 設計行列サイズが固定されている場合、固定周辺を持つ連続的表をサンプリングするSISの計算複雑度はいかほどか？
• RQ3 古典的SIS手順では、小さな連続的表ですら拒否率が非常に高くなることはあるか？
• RQ4 ロジスティック回帰などのモデルの選択が、連続的表のSISにおける拒否率に顕著な影響を与えるか？
• RQ5 一様分布下で固定周辺を持つ連続的表に対して、拒否なしSISアルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• 設計行列の行数と列数が固定されている場合、有効な連続的表を拒否なしにサンプリングできる多項式時間SISアルゴリズムが存在する。
• Chenら（2005）の古典的SIS手順は、小さな表ですら極限において拒否率が1に近づく可能性がある。
• 特にロジスティック回帰モデルを用いた場合、小さな表であっても高い拒否率が観察される。
• 条件付き分布のサポートが、周辺境界で定義される区間と一致しない場合があり、標準的なSISでは制約違反が生じる可能性がある。
• シミュレーション結果から、ロジスティック回帰モデル下では単純なモデルよりも拒否率が顕著に高いことが確認された。
• SISを拒否なしにできる理論的条件を確立し、効率的なサンプリングアルゴリズムの基盤を提供した。