[論文レビュー] Semigroups, rings, and Markov chains

Kenneth S. Brown|ArXiv.org|Jun 20, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 30被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、x² = x および xyx = xy を満たす有限半群のクラスである左正則バンド（LRB）上のランダムウォークを、環論的枠組みで分析する。1次元の既約表現を活用することで、遷移行列が実固有値をもって対角化可能であることを証明し、固有値および固有空間への射影の明示的公式を導出し、重複度が一般化された攪乱数であることを示した。この手法により、分配的ラティスおよびマトロイド上での新しいランダムウォークが得られ、Tsetlinライブラリの q-アナローグが含まれる。

ABSTRACT

We analyze random walks on a class of semigroups called ``left-regular bands''. These walks include the hyperplane chamber walks of Bidigare, Hanlon, and Rockmore. Using methods of ring theory, we show that the transition matrices are diagonalizable and we calculate the eigenvalues and multiplicities. The methods lead to explicit formulas for the projections onto the eigenspaces. As examples of these semigroup walks, we construct a random walk on the maximal chains of any distributive lattice, as well as two random walks associated with any matroid. The examples include a q-analogue of the Tsetlin library. The multiplicities of the eigenvalues in the matroid walks are ``generalized derangement numbers'', which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 有限半群上のマルコフ連鎖を分析する表現論的アプローチを構築すること、特に従来の群表現論が適用できない左正則バンド（LRB）を対象とすること。
• LRB上のランダムウォークの遷移行列が実固有値をもち対角化可能であることを確立すること、一般の半群表現論が存在しないという制約を克服すること。
• 環論的および順序集合論的道具を用いて、固有値、その重複度、および固有空間への射影の明示的公式を計算すること。
• 分配的ラティスの極大鎖やマトロイド上でのランダムウォークを含む、新たな例を構築すること。Tsetlinライブラリおよび q-攪乱数との関連を示すこと。
• マトロイド上のウォークにおける重複度が一般化された攪乱数であることを示し、代数的組合せ論における関心の高い組合せ的不変量と結びつけること。

提案手法

• x² = x および xyx = xy を満たす左正則バンド（LRB）を用い、積を簡略化する「削除性」を持つ半群をモデル化する。
• すべての既約表現が1次元であるという事実を活用し、環論的手法を用いてLRB上でのランダムウォークの遷移行列を分析する。
• 固有値を、交差格子上の重みの部分和として得る。重複度は、Möbius関数の絶対値で与えられる。
• 特に分配的ラティスの極大鎖を用いて、半群の構造とそのイデアルの性質を活用し、固有空間への射影を明示的に構成する。
• フラグ h ベクトルとMöbius逆転を用いて、マトロイドのフラット格子からの組合せ的データで重複度を表現する。
• 階級付き順序集合における同じランクをもつフラットの間で重複度を一致させるために、関数 γ(J) を用いたランクベースの lumping 手法を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な群表現論が適用できない有限半群上のランダムウォークをどのように分析できるか？
• RQ2 半群上のランダムウォークの遷移行列が実固有値をもち対角化可能であるための条件は何か？
• RQ3 マトロイドおよび分配的ラティス上のランダムウォークにおける固有値の重複度の組合せ的解釈は何か？
• RQ4 表現論的手法を用いて、Tsetlinライブラリおよびその q-アナローグを他の半群構造へ一般化できるか？
• RQ5 フラグ h ベクトルとMöbius関数は、マトロイドのフラット格子上のランダムウォークのスペクトル的性質とどのように関連するか？

主な発見

• 左正則バンド上のランダムウォークの遷移行列は、一般の半群表現論が存在しないにもかかわらず、実固有値をもち対角化可能である。これは非自明な結果である。
• 各 X ∈ L に対して、固有値は λ_X = ∑_{F⊆X} w_F で与えられ、重複度は m_X = |μ(X,V)| である。ここで μ は Möbius 関数である。
• n 個の生成子を持つ自由 LRB に単位元を加えたものに対しては、各部分集合 X⊆[n] に対して λ_X = ∑_{i∈X} w_i が固有値となり、重複度は攪乱数に等しい。
• マトロイドウォークにおいては、重複度が一般化された攪乱数であり、特定の添字集合 J に対してフラグ h ベクトルの成分の和として与えられる。
• ランク r のすべてのフラットの総重複度は、γ(J) = r を満たすすべての J に対する h_J(L) の和に等しい。ここで γ(J) は J の初期の連続整数列によって定義される。
• Tsetlinライブラリの q-アナローグが構成され、q-攪乱数 d_n(q) は S_n のすべての攪乱 π に対する q^{inv(π)} の和に等しい。