[論文レビュー] Semisimple Hopf algebras and their depth two Hopf subalgebras

Lars Kadison|ArXiv.org|Jul 3, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、特性0の代数的に閉じた体上の半単純ホップ代数において、任意の深さ2ホップ部分代数が正規であることを証明する。フロベニウス拡大理論、弱ホップ代数ガロア理論、およびコリング理論からの標準同型を用いて、ホップ代数から弱ホップ代数への非単位元をもつ代数準同型 $\Phi: H \to W$ を構成し、その核が $HK^+H = K^+H$ であることを示す。これにより、ガロア作用による正規性が確立される。

ABSTRACT

We prove that a depth two Hopf subalgebra K of a semisimple Hopf algebra H is normal (where the ground field $k$ is algebraically closed of characteristic zero). This means on the one hand that a Hopf subalgebra is normal when inducing (then restricting) modules several times as opposed to one time creates no new simple constituents. This point of view was taken in the paper http://arxiv.org/abs/math/0409346 which established a normality result in case H and K are finite group algebras. On the other hand this means that K is normal in H when H | K is a Galois extension with respect to action of generalized bialgebras such as bialgebroids, weak Hopf algebras or Hopf algebroids. The generalized Galois picture of depth two is the point of view we take here: after showing the centralizer R is separable algebra via Hopf invariant theory, we compute that the depth two semisimple Hopf algebra pair H | K is free Frobenius extension with Markov trace satisfying all hypotheses considered in Kadison and Nikshych, Frobenius Extensions and Weak Hopf Algebras, J.Algebra 244 (2001). By the main theorem in that paper it is then a Galois extension with action of semisimple weak Hopf algebra (also regular and possessing Haar integral). Then the Galois canonical isomorphism (via coring theory) restricted to integral induces algebra homomorphism from Hopf algebra into weak Hopf algebra with kernel HK^+ = K^+H.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた体の特性0における半単純ホップ代数の深さ2ホップ部分代数が正規であることを確立すること。
• 深さ2拡大と弱ホップ代数作用を結びつけることで、ホップ代数のガロア対応を一般化すること。
• マスウカによる正規ホップ部分代数の特徴づけをフロベニウス理論的証明で与えること。
• ホップ代数の文脈において、フロベニウス拡大と深さ2条件の同値性を明確にすること。

提案手法

• 半単純ホップ代数のフロベニウス構造とマーコフトレースを用いて、中心化子部分代数の自由性と分離性を確立する。
• カディソンとニクシチの（2014年）の定理を、弱ホップ代数ガロア作用をもつフロベニウス拡大に適用する。
• ガロア作用によるコアクションを介して、ホップ代数 $H$ から弱ホップ代数 $W = \mathrm{End}_K H_K$ への非単位元をもつ代数準同型 $\Phi: H \to W$ を構成する。
• ガロア同型 $\beta: H \otimes_K H \to H \otimes W$ を用いて $\Phi$ の像と核を解析し、$\mathrm{Im}\,\Phi \cong H / HK^+H$ を示す。
• シュナイダーの標準同型を用いて、$H/K^+H$、$H/HK^+$、$H/HK^+H$ の次元を比較し、$\dim \mathrm{Im}\,\Phi = n$ を証明する。
• 誘導写像 $H/HK^+H \to \mathrm{Im}\,\Phi$ が同型であることを示し、$HK^+H = K^+H$ を確立することで、$K$ が $H$ で正規であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的に閉じた体の特性0における半単純ホップ代数の深さ2ホップ部分代数 $K$ は、常に正規であるか？
• RQ2 深さ2拡大のガロア作用による像を用いて、大きな代数上での弱ホップ代数作用を定義できるか？
• RQ3 誘導準同型 $\Phi: H \to W$ の核は、二面的イデアル $HK^+H$ と一致するか？
• RQ4 深さ2拡大の文脈において、$H/K^+H$、$H/HK^+$、$H/HK^+H$ の次元の関係は何か？
• RQ5 正規ホップ部分代数の特徴づけは、深さ2とガロア作用の観点から同値に述べられるか？

主な発見

• 代数的に閉じた体の特性0における半単純ホップ代数 $H$ の深さ2ホップ部分代数 $K$ は正規である。
• 中心化子 $R = H^K$ は分離代数であり、フロベニウス構造とガロア構造を確立する上で重要な段階である。
• 拡大 $H|K$ は、マーコフトレースをもつ自由なフロベニウス拡大であり、カディソンとニクシチ（2014）の定理のすべての仮定を満たす。
• ガロア標準同型 $\beta: H \otimes_K H \to H \otimes W$ は、同型 $H/HK^+H \to \mathrm{Im}\,\Phi$ を誘導する。ここで $\Phi: H \to W$ は非単位元をもつ代数準同型である。
• $\Phi$ の核は $HK^+H = K^+H$ であり、これは $K$ が $H$ で正規であることを示唆する。
• $\mathrm{Im}\,\Phi$ の次元は $n$（$K$ における $H$ の指数）に等しく、これは $H/K^+H$ の次元と一致し、同型が確認される。