[論文レビュー] Separable Decomposition and Quantum Correlations in Toeplitz Matrices

Marek Mozrzymas, A. Rutkowski+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Matrix Theory and Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、可換かつ正規な $d \times d$ 行列を成分とするブロックトーペリッツ行列の分離可能性が、半正定値性と同値であることを確立し、その分離可能性分解の長さがブロック行列の次元と等しくなることを示している。これはカラテオドリの上限よりも短い。分解は、第一テンソル因子におけるブロック成分の固有値と第二因子におけるそれらの固有ベクトルにのみ依存する。また、全行列の半正定値性は、$d$ 個のより小さい $n \times n$ 行列の半正定値性と同値である。

ABSTRACT

It is shown that, for the block matrices belonging to $M(nd,\mathbb{C})$ with commuting and normal block entries of dimension $d$, the separability of such a block matrices is equivalent to its semi-positive definity. The separability decomposition of lenght equal to the dimension of the block matrix (which is smaller then Caratheodory theorem implies) is given. The separability decomposition depends only on eigenvalues of block entries in the first part and on eigenvectors of the block entries in the second part of the tensor product. It is shown that semi-positive definity of considered block matrices is equivalent to semi-positive definity $d$ smaller matrices of dimension $n$.

研究の動機と目的

• 可換かつ正規な $d \times d$ ブロックを有するブロックトーペリッツ行列が分離可能となる条件を特定すること。
• このような行列に対して、最小長の分離可能性分解を構成すること。
• 全行列の半正定値性が、ブロック構造から導かれる $d$ 個のより小さい $n \times n$ 行列の半正定値性と同値であることを示すこと。
• 分解がブロック成分の固有値および固有ベクトルにどのように依存するかを特定すること。

提案手法

• 可換かつ正規な $d \times d$ ブロックを有する $M(nd,\mathbb{C})$ 内のブロック行列を分析する。
• ブロック成分のスペクトル分解を用いて、全行列を固有値および固有ベクトルの観点から表現する。
• 分離可能性が全行列の半正定値性と同値であることを確立する。
• 問題を、ブロック構造から導かれる $d$ 個のより小さい $n \times n$ 行列の半正定値性の確認に還元する。
• 全行列の次元と等しい長さの分離可能性分解を導出する。これはカラテオドリの上限よりも短い。
• 分解が第一テンソル因子における固有値と第二因子における固有ベクトルにのみ依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換かつ正規な $d \times d$ ブロックを有するブロックトーペリッツ行列がどのような条件下で分離可能か。
• RQ2 このような行列に対して、ブロック行列の次元と等しい長さの分離可能性分解を構成できるか。
• RQ3 全行列の半正定値性が、ブロック構造から導かれる $d$ 個のより小さい $n \times n$ 行列の半正定値性と同値か。
• RQ4 ブロック成分の固有値および固有ベクトルは、分離可能性分解にどのように影響を与えるか。

主な発見

• ブロックトーペリッツ行列の分離可能性は、その半正定値性と同値である。
• 全行列の次元と等しい長さの分離可能性分解が構成され、これはカラテオドリの定理が示唆する上限よりも短い。
• 分解は、第一テンソル因子におけるブロック成分の固有値と第二因子におけるそれらに対応する固有ベクトルにのみ依存する。
• 全行列の半正定値性は、ブロック構造から導かれる $d$ 個のより小さい $n \times n$ 行列の半正定値性と同値である。
• 本手法は、ブロックのスペクトル的性質を用いて分離可能性を構成的かつ効率的に検証する方法を提供する。
• この結果は、構造化された量子相関行列における行列の正定値性と分離可能性の関係を一般化するものである。