[論文レビュー] Sequent Calculi for the classical fragment of Bochvar and Halldén's Nonsense Logics

Marcelo E. Coniglio, María Inés Corbalán|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2013

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典論理（CPL）の規則を制限することにより、ボフヴァールの無意味論理とハールデーンの無意味論理の古典的フラグメント（¬, ∧, ∨, →）の非切断のシークエント計算を提示する。主な貢献は、対称的で前提条件に基づく再定式化であり、二つの論理の双対性を明示的に捉えている：ボフヴァールの論理（非指定の無意味）は右側規則を制限し、ハールデーンの論理（指定の無意味）は左側規則を制限することで、健全かつ完全な体系を構成し、完全な切断除去を達成する。

ABSTRACT

In this paper sequent calculi for the classical fragment (that is, the conjunction-disjunction-implication-negation fragment) of the nonsense logics B3, introduced by Bochvar, and H3, introduced by Halldén, are presented. These calculi are obtained by restricting in an appropriate way the application of the rules of a sequent calculus for classical propositional logic CPL. The nice symmetry between the provisos in the rules reveal the semantical relationship between these logics. The Soundness and Completeness theorems for both calculi are obtained, as well as the respective Cut elimination theorems.

研究の動機と目的

• ボフヴァールの3値無意味論理とハールデーンの3値無意味論理の古典的フラグメントを、シークエント計算を用いて形式的かつ句法学的に特徴づけること。
• ボフヴァールの第三値が非指定であり、ハールデーンの第三値が指定であるという二つの論理の意味的双対性を、構造的規則制限を通じて明確化すること。
• 論理的結合子の古典的振る舞いを保ちつつ、無意味値の「感染性」伝播を組み込む、切断のないシークエント計算を提供すること。
• 両方の計算体系について、健全性、完全性、切断除去を確立し、それらの証明論的安定性を保証すること。

提案手法

• 論理記号 ¬, ∧, ∨, → について、古典的命題論理（CPL）の標準的シークエント規則を制限することで計算体系を構築する。
• ハールデーンの論理（H₃）では、¬, ∧, → の左導入規則に制限を適用し、前提の変数集合が結論の変数集合に含まれることを前提条件とする。
• ボフヴァールの論理（B₃）では、¬, ∨, → の右導入規則に制限を適用し、同様に変数集合の包含関係を前提条件とする。
• 結合子と含意の導出規則を両システムに導入し、それらは基本規則から同じ前提条件を継承する。
• 意味的含意関係と古典論理フラグメントへの還元を用いて、健全性と完全性を証明する。
• 完全性と変数包含に関する補題を用いて、任意の導出可能なシークエントが非切断の導出をもつことを示すことで、切断除去を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボフヴァールの無意味論理とハールデーンの無意味論理の古典的フラグメントを、古典的推論を保ちつつ非古典的真理値を組み込む、シークエント計算によってどのように捉えることができるか？
• RQ2 これらの論理において、指定の無意味値と非指定の無意味値の意味的差異を捉えるために、必要な構造的規則制限は何か？
• RQ3 変数包含に関する前提条件のみを用いて、二つの論理すべてに対して切断のないシークエント計算を構築できるか？
• RQ4 ボフヴァールの非指定の第三値とハールデーンの指定の第三値という二つの論理の双対性は、それぞれの計算体系の句法学的構造にどのように現れるか？
• RQ5 証明論的性質（健全性、完全性、切断除去）が、これらの非古典的拡張において、どの程度古典論理の性質を保てるか？

主な発見

• ハールデーンの論理（H₃）のシークエント計算は、H₃-含意に関して健全かつ完全であり、すべての導出は非切断にできる。
• ボフヴァールの論理（B₃）のシークエント計算は、B₃-含意に関して健全かつ完全であり、すべての導出は非切断にできる。
• これらの計算体系は、否定の左または右導入規則に一重の前提条件を課えることで得られ、その影響は結合子と含意の導出規則にまで伝播する。
• 前提条件は、規則の結論における命題変数集合が前提における集合の部分集合であることを要請し、無意味値の伝播が変数が共有されている場合にのみ発生することを意味論的に捉えている。
• 完全性は、任意のH₃またはB₃で妥当なシークエントがそれぞれの計算体系で導出可能であることを示すことにより証明され、古典論理フラグメントへの還元を用いる。
• 完全性と前提条件に基づく制限を用いて、切断除去が確立され、任意の導出可能なシークエントが非切断の導出をもつことが保証される。