[論文レビュー] Series expansion of the overlap reduction function for scalar and vector polarizations for gravitational wave search with pulsar timing arrays

Adrian Boîtier, Tanguy Giroud+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2021

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、短波長近似に依存せずに、パulsarタイミングアレイ（PTA）におけるスカラー（呼吸モードおよび縦モード）およびベクトル偏光の重なり還元関数（ORF）を解析的に計算するためのべき級数展開法を提示する。φが任意の角度である場合、縦モードORFの最初の解析的表現が得られ、長年の特異性問題が解決された。また、Lωが大きいときφ=0で発散する振る舞いを確認し、ベクトルおよび呼吸モードに関して先行研究と一致する結果を得た。

ABSTRACT

In our previous work \cite{PTA2} we calculated the overlap reduction function for the tensor polarization without employing the short wavelength approximation, this was done by obtaining a power series of nested sums which is valid for all gravitational wave frequencies and pulsar distances. In this work we generalize the power-series expansion method to vector and scalar polarizations. We have compared our expression for the breathing and vector modes with previous literature. We present for the first time analytic expressions for the overlap reduction function of the longitudinal mode for all angles between the pulsar pairs.

研究の動機と目的

• パulsarタイミングアレイにおける非テンソル的重力波偏光の重なり還元関数（ORF）を計算する一般化された手法を開発すること。
• 従来の手法が失敗するφ=0およびLω→∞のとき、縦偏光ORFに生じる特異性を解消すること。
• テンソルモードに限らず、ベクトルおよびスカラー偏光へもべき級数法を拡張し、すべての周波数およびパルサー距離に対して解析的計算を可能とすること。
• 事前に評価した級数項を再利用することで、数値的に効率的なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 複素解析および留数定理を用いて、テンソル偏光からベクトルおよびスカラーモードへべき級数法を一般化する。
• ORF被積分関数をz = e^{iϕ}の関数fM(z)として複素関数として表現し、ϕに沿った線積分を可能にする。
• 留数を2つの部分に分割：パルサー項PM(z)由来の部分と指数関数的位相項E(z)由来の部分。両者の極が相殺されることを保証する。
• 縦モード（l）、呼吸モード（b）、ベクトルモード（V）それぞれの多項式部分PM(z)の明示的表現を導出する。
• 記号計算（Mathematica）を用いて、ネストされたべき級数展開を導出し、簡略化する。
• Leeら[7]の既知の解析的極限と数値積分の比較により、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短波長近似を用いずに、φが任意の角度（φ=0を含む）で縦スカラー偏光の重なり還元関数を解析的に計算できるか？
• RQ2 ベクトルおよび呼吸モードのORFは、既存の文献（特にφ=0近辺）とどのように一致するか？
• RQ3 べき級数法が、縦モードおよびベクトルモードにおいて被積分関数の極を正しくキャンセルし、すべてのLωおよびφに対して収束を保証できるか？
• RQ4 事前に評価した級数項を用いて、複数の偏光モードのORFを効率的に計算できるか？

主な発見

• 本稿では、すべての角度φに対して縦モード重なり還元関数の最初の解析的表現が得られ、長年の解析的課題が解決された。
• 縦モードORFはφ→0のときLωに比例して発散し、従来の予想を確認した。特異性は完全な解析的取り扱いにより解消された。
• ベクトルモードORFはφ=0でLωに対して対数的に発散し、Leeら[7]の結果を確認した。一方、ChamberlinとSiemens[6]が有限であると主張したのとは矛盾する。
• 呼吸モードORFはLωが大きいときφ=0で2に収束し、物理的直観と一致し、テンソルモードの振る舞いとも一致する。
• 短波長近似を回避することで、すべてのLωおよびφに対して定義された積分が保証され、事前に評価した級数項を用いた効率的な計算が可能になった。
• ベクトルおよび呼吸モードに関して、Leeら[7]の結果と強い一致を示したが、ChamberlinとSiemens[6]とはφ=0近辺で不一致を示し、文献における矛盾が明らかになった。