[論文レビュー] Sesqui-arrays, a generalisation of triple arrays

R. A. Bailey, Peter J‎. Cameron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、三重配列の一般化であるセスクイアレイを導入し、行と列の文字の共起条件を緩和しながらも、行および列の成分設計におけるバランスを維持する。三つの構成法—ラテン方陣、シルベスター木、双平面を用いたもの—を提示し、実験設計分野、特に統計的実験における最適または準最適効率を達成するための新しい組合せ設計の族を提供する。

ABSTRACT

A triple array is a rectangular array containing letters, each letter occurring equally often with no repeats in rows or columns, such that the number of letters common to two rows, two columns, or a row and a column are (possibly different) non-zero constants. Deleting the condition on the letters common to a row and a column gives a double array. We propose the term \emph{sesqui-array} for such an array when only the condition on pairs of columns is deleted. Thus all triple arrays are sesqui-arrays. In this paper we give three constructions for sesqui-arrays. The first gives $(n+1) imes n^2$ arrays on $n(n+1)$ letters for $n\geq 2$. (Such an array for $n=2$ was found by Bagchi.) This construction uses Latin squares. The second uses the \emph{Sylvester graph}, a subgraph of the Hoffman--Singleton graph, to build a good block design for $36$ treatments in $42$ blocks of size~$6$, and then uses this in a $7 imes 36$ sesqui-array for $42$ letters. We also give a construction for $K imes(K-1)(K-2)/2$ sesqui-arrays on $K(K-1)/2$ letters. This construction uses biplanes. It starts with a block of a biplane and produces an array which satisfies the requirements for a sesqui-array except possibly that of having no repeated letters in a row or column. We show that this condition holds if and only if the \emph{Hussain chains} for the selected block contain no $4$-cycles. A sufficient condition for the construction to give a triple array is that each Hussain chain is a union of $3$-cycles; but this condition is not necessary, and we give a few further examples. We also discuss the question of which of these arrays provide good designs for experiments.

研究の動機と目的

• 行と列の文字共起条件を緩和することで、三重配列の一般化としてセスクイアレイの概念を提唱・形式化すること。
• 実験設計に適した良好なバランスと効率性を有するセスクイアレイを生成する新しい組合せ的構成法を開発すること。
• これらの配列が統計的実験において最適または準最適な設計をもたらす条件を調査すること。
• 特にハッサンチェーンの性質に注目して、双平面構造とセスクイアレイの構成との関係を探索すること。
• 実験設計の文脈において、A-最適性、E-最適性、D-最適性といった標準的な統計的基準に基づき、セスクイアレイの最適性を評価すること。

提案手法

• n ≥ 2 に対して、ラテン方陣から導かれる正交配列を用いて、n(n+1) 個の文字を用いた (n+1) × n² セスクイアレイを構成する。
• ホフマン＝シンゲルトン図の部分グラフたるシルベスター木を用い、6 要因のブロックを 36 個もつ 36 × 42 ブロック設計を用いて、7 × 36 セスクイアレイを構築する。
• 双平面を用いて、K × (K-1)(K-2)/2 セスクイアレイを、K(K-1)/2 個の文字上で構成する。これは双平面のブロックから出発する。
• 行または列に同じ文字が繰り返されないことを保証するため、選択された双平面のブロックに対するハッサンチェーンに 4-サイクルが存在しないことを条件とする。
• 調整された直交性を強制するため、行列条件 N_{RL}N_{LC} = λ_{rc} · J を適用する。これは統計的最適性の鍵となる性質である。
• 成分設計 Δ_{R(L)} および Δ_{C(L)} のバランスと最適性を分析し、それらを統計的効率性基準と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双平面に基づく構成が、行または列に繰り返し文字が現れない有効なセスクイアレイを生成するための必要十分条件は何か？
• RQ2 既知の例を除き、セスクイアレイにおける文字の出現回数 k として実現可能な値は何か？
• RQ3 すべての二重配列が不等式 1/μ_{ARC} ≥ 1/μ_{AR} + 1/μ_{AC} - 1 を満たすか。そうでない場合、セスクイアレイに適用される制約は何か？
• RQ4 非同型の双平面は、特に 6 × 10 の対称的配置において、非同型の三重配列またはセスクイアレイを生成できるか？
• RQ5 セスクイアレイにおける列成分設計 Δ_{C(L)} に支配的な弱い不等式や構造的制約は何か？

主な発見

• ラテン方陣に基づく構成法により、すべての n ≥ 2 に対して n(n+1) 個の文字を用いた (n+1) × n² セスクイアレイが得られ、バグチによる既知の n=2 例を一般化する。
• シルベスター木に基づく構成法により、42 個の文字を用いた 7 × 36 セスクイアレイが得られ、図の構造から導かれる 36 要因・42 ブロックでサイズ 6 のブロック設計を用いる。
• 双平面に基づく構成法により、K(K-1)/2 個の文字を用いた K × (K-1)(K-2)/2 セスクイアレイが生成され、重複のない条件はハッサンチェーンに 4-サイクルが存在しないことに等しい。
• このような構成が三重配列をもたらす十分条件として、すべてのハッサンチェーンが 3-サイクルの和集合であることが挙げられるが、これは必要条件ではない。
• 調整された直交性および最適な成分設計（Δ_{L(R)} および Δ_{L(C)}）が、一般バランスが成立する場合には、全体の最適設計 Δ_{L(R,C)} をもたらすことが確認された。
• 理論的結果により、調整された直交性を有する設計において、全体の A-最適性を達成する最良の戦略は、両方の成分設計が A-最適であることを保証することであるが、一般バランスが成立しない場合には例外が存在する。