[論文レビュー] Set theories mutually interpretable with higher order arithmetic

Colin McLarty|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2012

Advanced Decision-Making Techniques被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、高階算術と制限された冪集合公理を備えた特定の集合論の間の相互解釈を確立することで、古くからの民話的定理を形式化し、証明する。これにより、これらの体系が同等の証明論的強度を持つことが示される。本研究は、ZFに基づく体系における明確な公理的体系を提示し、高階算術と限られた集合論の論理的同値性を明確にする。

ABSTRACT

A folk theorem says higher order arithmetic has the proof theoretic strength of set theory with limited power set. This paper makes the theorem precise in terms of several axiom system based on ZF.

研究の動機と目的

• 高階算術と制限された冪集合公理を備えた集合論を結ぶ長年の民話的定理を形式化し、証明すること。
• ツェルメール＝フランケル集合論内での、高階算術の証明論的強度を捉える正確な公理系を同定すること。
• 高階算術と特定の集合論の断片との間の相互解釈を確立することで、それらの論理的同値性を明確にすること。
• 型理論的体系（高階算術）と制限的コンprehensionを備えた集合論的体系との基礎的関係を明確にすること。

提案手法

• すべての有限型について完全なコンprehensionを備えた型理論としての高階算術の形式化。
• 特定の段階に制限された冪集合の存在を許容するZFに基づく集合論の構築。
• 高階算術から制限された集合論への翻訳の定義。真理と証明可能性が保存されることを保証する。
• 制限された集合論から高階算術への逆方向の翻訳の定義。両方向の解釈可能性を保証する。
• 両体系が相互に解釈可能であることを証明する。つまり、それぞれが他方の定理を形式化できることを意味する。
• 証明論的技法を用いて、両体系の整合性強度および証明論的順序数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限された冪集合公理を備えたZFのどの正確な断片が、高階算術と同等の証明論的強度を持つのか。
• RQ2 高階算術は、完全な冪集合公理を避ける集合論と相互に解釈可能か。
• RQ3 型理論的体系と制限的コンprehensionを備えた集合論的体系との正確な論理的関係は何か。
• RQ4 高階算術とこのような制限された集合論との間で、相互解釈をどのように形式的に確立できるか。

主な発見

• 本稿は、制限された冪集合公理のみを含むZFに基づく集合論と高階算術との間で、相互解釈を確立する。
• 定義された翻訳の下で、制限された集合論は高階算術のすべての定理を証明でき、逆に高階算術も同様に、そのすべての定理を証明できる。
• 高階算術の証明論的強度が、制限された集合論のそれと同等であることが示され、民話的定理が確認された。
• 完全な冪集合公理が、高階算術の強度を捉えるために必要ではないことが、構成によって示された。