[論文レビュー] Sets, Lists and Noncrossing Partitions

David Callan|ArXiv.org|Nov 29, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、[n]の集合のリストへの分割と非交差集合のリストへの分割の間で、双対的同型を確立し、Dyckパスとピークラベルを用いた構成的写像により、それらが同数であること（等数的）を証明する。非交差分割変換と呼ばれる整数列への新しい変換を導入し、非交差リストのリストへの分割の数を数える再帰的関係を導出する。非交差集合のリストへの分割の母関数として、A088368が得られる。

ABSTRACT

Partitions of [n]={1,2,...,n} into sets of lists are counted by sequence number A000262 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. They are somewhat less numerous than partitions of [n] into lists of sets, A000670. Here we observe that the former are actually equinumerous with partitions of [n] into lists of *noncrossing* sets and give a bijective proof. We show that partitions of [n] into sets of noncrossing lists are counted by A088368 and generalize this result to introduce a transform on integer sequences that we dub the "noncrossing partition" transform. We also derive recurrence relations to count partitions of [n] into lists of noncrossing lists.

研究の動機と目的

• 集合のリストへの分割と非交差集合のリストへの分割の間で、[n]の分割について双対的対応を確立すること。
• 非交差リストの集合への分割の数が、A088368番の数列で与えられることを示すこと。
• 整数列に新しい変換「非交差分割変換」を定義し、その性質を示すこと。
• 非交差リストのリストへの分割の数を数える再帰的関係を導出すること。具体的には、多項係数とブロック構造を含む明示的公式を用いること。

提案手法

• ピークリンクされたDyckパスと非交差集合のリストへの分割との間の双対写像を用い、ピークリンクがブロックの順序に対応することを示す。
• パスの列データに対して巡回回転と部分和の操作を適用し、Dyckパスを集合のリストへの分割に写像する。
• 母関数を用いて非交差分割変換を定義し、A(x) = sum_{k=0}^∞ k! (x A(x))^k が成り立つことを示す。
• ブロック分解と多項係数を用いて、[n]をj個の非交差リストのリストに分割する方法の数u(n,j)の再帰的関係を導出する。
• ブロック長、ブロック数、内部順序を考慮した精緻化された再帰的関係（6）を導入し、u(b_i, c_i)/c_i! を用いる。
• 母関数を用いて再帰の項数を解析し、新たな母関数（7）を導出し、二項係数を用いた精緻化されたバージョンを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合のリストへの分割と非交差集合のリストへの分割は、[n]に対して同数であるか。もしそうなら、直接的な双対写像を構成可能か？
• RQ2 非交差リストの集合への分割の数の母関数は何か。また、既知の数列とどのように関係するか？
• RQ3 標準的分割数を非交差版に写像する一般化された変換を整数列に定義可能か？
• RQ4 非交差リストのリストへの分割の数を数える背後にある再帰的構造は何か。効率的に計算可能か？
• RQ5 再帰の和の項数はnに対してどのように増加するか。対称性と多項係数のグループ化を用いて最適化可能か？

主な発見

• 集合のリストへの分割と非交差集合のリストへの分割は、ピークリンクDyckパスを用いた双対写像により、同数であることが証明された。
• 非交差リストの集合への分割の数は、A088368番の数列で与えられ、母関数はA(x) = sum_{k=0}^∞ k! (x A(x))^k である。
• 非交差リストのリストへの分割の数u(n,j)の再帰的関係は、ブロック分解と多項係数を用いて導出された。
• 非交差リストのリストへの分割の総数u(n)は、(1, 4, 24, 184, 1680, 17592, 206472, 2674752, ...) で与えられ、A088368番の数列と一致する。
• u(n)の再帰和の項数は、nの整数分割πのすべてについてπ⁻¹の非ゼロ成分の積の和で与えられ、母関数は1/(1−x) ∏_{k≥2} 1/(1−(k−1)x^k) である。
• 同じb_i値をグループ化し、二項係数を用いることで、再帰の項数を削減でき、精緻化された母関数 ∏_{k≥2} 1/(1−x^k)^{k−1} が得られる。