[論文レビュー] Settling the Complexity of Arrow-Debreu Equilibria in Markets with Additively Separable Utilities

Xi Chen, Decheng Dai+2 more|ArXiv.org|Apr 3, 2009

Economic theories and models参考文献 30被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、加法的可分性、区分的線形性、凹型（PLC）効用関数を有する市場ですら、アロー＝ドゥブレー市場均衡を計算することがPPAD完全であることを確立している。著者らは、スパースなバイ行列ゲーム問題への還元によりこれを証明し、PPAD ⊆ P でない限り、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）は存在しないことを示している。

ABSTRACT

We prove that the problem of computing an Arrow-Debreu market equilibrium is PPAD-complete even when all traders use additively separable, piecewise-linear and concave utility functions. In fact, our proof shows that this market-equilibrium problem does not have a fully polynomial-time approximation scheme unless every problem in PPAD is solvable in polynomial time.

研究の動機と目的

• 加法的可分性を持つ区分的線形凹型（PLC）効用関数を有する市場均衡を計算する問題が多項式時間で解けるか、あるいはPPAD困難であるかという長年の未解決問題を解明すること。
• 線形効用関数（多項式時間で解ける）とより一般の凹型効用関数との間の複雑さのギャップを埋めること。
• 加法的可分性とPLC効用関数という制限のもとでも、PPAD完全な市場均衡問題を構築すること。
• この問題に対して完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在しないこと、すなわちPPADに属するすべての問題が多項式時間で解ける場合にのみFPTASが存在することを示すこと。

提案手法

• すべての財に対して近似均衡価格が[1,2]に制約されるn財からなる価格規制付き市場M_nの族を構築する。
• 小さな初期所与を持つ取引者が追加された場合の小さな摂動においても価格規制性が安定することを用い、価格制約を維持する。
• スパースなバイ行列ゲームからの変数を、構築した市場の正規化された均衡価格に符号化する。
• 特定の効用関数と初期所与を持つ新しい取引者を設計し、均衡価格ベクトルに制約を課し、それらをゲーム理論的均衡に関連付ける。
• 構築した市場における近似均衡価格が、元のゲームにおけるwell-supported近似ナッシュ均衡に正確に対応することを証明する。
• スパースなバイ行列ゲーム問題への還元を用い、市場均衡問題のPPAD完全性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的可分性を持つ区分的線形凹型（PLC）効用関数を有するアロー＝ドゥブレー均衡を計算することは、多項式時間で可能か、あるいはPPAD困難か？
• RQ2 この市場均衡問題に対して完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在可能か？
• RQ3 効用関数が加法的可分かつ区分的線形でセグメント数が少ない場合でも、問題の複雑さは依然として高いままであるか？
• RQ4 スパースなバイ行列ゲームの構造を、PLC効用関数を有する競争的交換市場に符号化し、その均衡をシミュレートできるか？
• RQ5 追加の取引者が少数参加した場合の小さな摂動において、構築した市場の価格規制性は安定しているか？

主な発見

• すべての取引者が加法的可分性、区分的線形性、凹型効用関数を有する場合ですら、アロー＝ドゥブレー市場均衡を計算する問題はPPAD完全である。
• PPADに属するすべての問題が多項式時間で解ける場合にのみ、この市場均衡問題は完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を有しない。
• 2線形市場（各効用関数に2つのセグメント）ですでにPPAD完全であるため、最小限の非線形性が存在する段階から複雑さが生じることを示している。
• 価格規制性により、正規化された均衡価格が[1,2]に収まることが保証され、これにより[0,1]区間の実数変数を価格オフセットによって符号化できる。
• 小さな初期所与の摂動に対しても価格規制性が安定しているため、ゲーム理論的均衡をシミュレートする市場を安定的に構築できる。
• 構築した市場における近似均衡は、元のスパースなバイ行列ゲームにおけるwell-supported近似ナッシュ均衡に正確に対応する。