[論文レビュー] Several Classes of Trace Codes With Either Optimal Two Weights or a Few Weights over $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$

Hongwei Liu, Youcef Maouche|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Coding theory and cryptography被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ガウス和を用いて重み分布を特定することで、$\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$（$u^2 = 0$）上の無限族のトレース符号を構成し、少ないリー重みを持つものを作成する。$\gcd(e,m) = 1$ のとき、これらの符号は $\mathbb{F}_q$ 上の二重量符号としてギレスマー境界に達する。$\gcd(e,m) = 2,3,4$ の場合、最大五重みを持つ新しい符号族が構成される。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number, $q=p^s$ for a positive integer $s$. For any positive divisor $e$ of $q-1$, we construct an infinite family codes of size $q^{2m}$ with few Lee-weight. These codes are defined as trace codes over the ring $R=\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$, $u^2 = 0$. Using Gauss sums, their Lee weight distributions are provided. When $\gcd(e,m)=1$, we obtain an infinite family of two-weight codes over the finite field $\mathbb{F}_q$ which meet the Griesmer bound. Moreover, when $\gcd(e,m)=2, 3$ or $4$ we construct new infinite family codes with at most five-weight.

研究の動機と目的

• 環 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上の無限族のトレース符号を、リー重みが少ないものとして構成すること。
• ガウス和を用いて、これらの符号の正確なリー重み分布を特定すること。
• 符号がギレスマー境界において最適性を達成する条件を同定すること。
• $\gcd(e,m) = 2,3,4$ の場合に拡張し、最大五重みを持つ符号族を生成すること。
• 有限環および有限体上での重みが少ない新しい無限族の符号を提供すること。

提案手法

• 環 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上の線形符号のトレース像として符号を定義する（$u^2 = 0$）。
• ガウス和を用いて、構成されたトレース符号のリー重み分布を計算する。
• $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ の代数的構造を活用し、符号が $q^{2m}$ のサイズを持つことを保証する。
• 二重量符号がギレスマー境界に達するように、$\gcd(e,m) = 1$ の条件を課す。
• $\gcd(e,m) = 2,3,4$ の重み分布を解析し、符号が最大五つの異なるリー重みを持つことを示す。
• $R^m$ から有限体 $\mathbb{F}_q^m$ へのトレース写像を適用し、$\mathbb{F}_q$ 上の符号を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース符号が $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上で二重量符号に変わる条件は何か？
• RQ2 ガウス和を用いて、これらのトレース符号のリー重み分布を明示的に計算できるか？
• RQ3 $\gcd(e,m) = 2,3,4$ の場合、符号に含まれる異なるリー重みの最大数は何か？
• RQ4 構成された符号は線形符号のギレスマー境界を満たすか？
• RQ5 既知の構成を拡張する、重みが少ない新しい無限族の符号は存在するか？

主な発見

• $\gcd(e,m) = 1$ のとき、構成された符号は $\mathbb{F}_q$ 上の二重量符号であり、ギレスマー境界に達しており、最適性を示している。
• 符号のリー重み分布はガウス和を用いて完全に特定され、明示的な重み列挙式が得られる。
• $\gcd(e,m) = 2,3,4$ の場合、符号は最大五つの異なるリー重みを持つことから、重みが少ない新しい無限族が得られる。
• 符号はサイズ $q^{2m}$ であり、$\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上の環からのトレース符号として導出される。
• 構成により、$\mathbb{F}_q$ 上で重みが少ない無限族の符号が得られ、既知の結果を拡張する。
• トレース写像の使用により構造的性質が保たれ、特徴関数の和の技法を用いて重み分布が導出可能となる。