[論文レビュー] Several expressions of the net single premiums under the constant force of mortality

Andrius Grigutis, Laurynas Lukoševičius+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2026

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management被引用数 0

ひとこと要約

この論文は、一定死亡率の下で現在価値のモーメントを閉形式で導出し、実データとゴンペツ模型を用いたUDDおよびBalducci補間と比較している。

ABSTRACT

In this article, we present several formulas that make it easier to compute the net single premiums when the mortality force over the fractional ages is assumed to be constant (C). More precisely, we compute the moments of the random variables $ν^{T_x}$, $T_x$, $T_xν^{T_x}$, etc., where $T_x$ denotes the future lifetime of a person who is $x\in\{0,\,1,\,\ldots\}$ years old, and $ν$ is the annual discount multiplier. We verify the obtained formulas on the real data from the human mortality table and the Gompertz survival law. The obtained numbers are compared with the corresponding ones when the survival function over fractional ages is interpolated using the uniform distribution of deaths (UDD) and Balducci's (B) assumptions. We also formulate and prove the statement on the comparison of the moments of the mentioned random variables under assumptions (C), (UDD), and (B).

研究の動機と目的

• 一定死亡率(C)の下で純ソリッドプレミアムの計算に関する動機付けと対応。
• nu^{T_x}、T_x、および関連積の現在価値変数のモーメントの明示的式を開発。
• UDDおよびBalducci補間との比較を提供し、実データとゴンペツ法則で検証。
• 分数年補間の下で様々な保険給付の保険数理値の実務的計算に関する指針を提供。
• 各年を分割することや年内の給付の変動に対する拡張を検討。

提案手法

• x歳の将来生存期間を表す乱数変数T_xを定義・固定し、割引係数 nu = 1/(1+i) を導入。
• 一定死亡率(C)の下で nu^{T_x}、T_x、T_x nu^{T_x} および関連項のm次モーメントを計算。
• 年ごと区間と分数年の改良を含むモーメントの明示的な和とガンマ関数表現（不完全ガンマ関数を含む）を導出。
• 分数年の三つの補間方式（UDD, C, B）を導入・比較し、これらの方式下での期待値の比較補題を証明。
• formulas を年内分割（j分割）および [T_x]+1 や j T_x のような表現と対応する給付へ拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数年が補間された場合、一定死亡率の下で現在価値負債のモーメントの閉形式表現をどのように得るか。
• RQ2 一定死亡率下の保険料はUDDおよびBalducci補間下の保険料とどう比較されるか。
• RQ3 分数年補間が E[T_x]、E[T_x^2]、および現在価値給付といった主要な保険計数にどのような影響を及ぼすか。
• RQ4 年をより小さな区間に分割（j分割）した場合、または各年内で給付が増加する場合、改訂された表現はどうなるか。
• RQ5 ゴンツ基準の生存モデルは分数年補間とどの程度一致するか、実データは算出プレミアムにどのように影響するか。

主な発見

• 一定死亡率の下で nu^{T_x}、T_x、T_x nu^{T_x}、および [T_x+1] nu^{T_x} のm次モーメントについての明示式が導出・提示され、命題1–4として整理されている。
• 非増加な g(t) の場合、UDD, C, B 補間は g に対して E_UDD[g(T_x)] ≤ E_C[g(T_x)] ≤ E_B[g(T_x)] となる順序付き期待値を与え、g が非減少の場合は不等式が逆になる（補題1–2）。
• 年内の分割（j分割）について、 nu^{([T_x j]+1)/j} および関連項のモーメントの新しい閉形式が提供され、現在価値計算の細分化を可能にしている（補題5–6、補足あり）。
• C補間は分数年にわたるゴンペツベースの生存に密接に一致することを示し、実データを用いたゴンペツ型およびBalducci型補間との対比結果を示す。
• 実データ（リトアニア死表）とゴンペツモデルを用いた例で、純ソリッドプレミアムおよび関連モーメントの数値挙動を年齢・給付ごとに示す（例1–3）。
• 増減給付を含む様々な保険商品に対する実務的公式を提供し、p_{x+k} → 0 または p_{x+k} → 1 の極限ケースを議論。