[論文レビュー] Several variable p-adic families of Siegel-Hilbert cusp eigensystems and their Galois representations

Jacques Tilouine, Eric Urban|ArXiv.org|Jan 18, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、完全実体 F 上の GSp(4) に対して、固有系がコhomological であるという仮定の下で、複数変数 p-進族の Siegel-Hilbert ハイプス・カスプ固有系を構成する。F=Q の場合、これらの固有系に付随する三変数 p-進族のガロア表現の存在を確立し、幾何的仮定のもとで、この族が双対パラボリックに対してほぼ通常であることを証明する。

ABSTRACT

Let F be a totally real field and G=GSp(4)_{/F}. In this paper, we show under a weak assumption that, given a Hecke eigensystem lambda which is (p,P)-ordinary for a fixed parabolic P in G, there exists a several variable p-adic family underline{lambda} of Hecke eigensystems (all of them (p,P)-nearly ordinary) which contains lambda. The assumption is that lambda is cohomological for a regular coefficient system. If F=Q, the number of variables is three. Moreover, in this case, we construct the three variable p-adic family rho_{underline{lambda}} of Galois representations associated to underline{lambda}. Finally, under geometric assumptions (which would be satisfied if one proved that the Galois representations in the family come from Grothendieck motives), we show that rho_{underline{lambda}} is nearly ordinary for the dual parabolic of P. This text is an updated version of our first preprint (issued in the "Prepublication de l'universite Paris-Nord") and will appear in the "Annales Scientifiques de l' E N S".

研究の動機と目的

• 完全実体 F 上の GSp(4) に対して、複数変数 p-進族の Siegel-Hilbert ハイプス・カスプ固有系を構成すること。
• F=Q の場合に、そのような固有系に付随する p-進族のガロア表現の存在を確立すること。
• 構成されたガロア表現族が、幾何的仮定のもとで双対パラボリックに対してほぼ通常であることを示すこと。
• 以前のほぼ通常族に関する結果を、より高次元のパrameter 空間を持つ Siegel-Hilbert モジュラー形式の状況に拡張すること。
• Hilbert-Siegel モジュラー形式と p-進族の文脈において、自動形式とガロア表現を結びつけるための枠組みを提供すること。

提案手法

• 完全実体 F 上の GSp(4) における (p,P)-ほぼ通常ヘッケ固有系の理論を用いる。
• 変形理論的技法を用いて、与えられた (p,P)-通常固有系を含む複数変数 p-進固有系族を構成する。
• 正則係数系に依存して、固有系のコhomological 条件を用いて族の存在を保証する。
• F=Q の場合に、モジュラー形式のレベルと重みのパrameter から生じる三変数構造を用いて、関連するガロア表現族を構成する。
• ガロア表現がグローテンディークのモチーフから生ずるとの幾何的仮定を適用し、双対パラボリックに対してほぼ通常の性質を導出する。
• 特に、Siegel-Hilbert モジュラー形式とその関連するガロア表現の文脈において、自動形式および p-進族の理論に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実体上の Siegel-Hilbert モジュラー形式に対して、複数変数でパラメータ化された p-進固有系族を構成することは可能か？
• RQ2 コhomological な (p,P)-通常固有系が、p-進変形によって (p,P)-ほぼ通常固有系族へ拡張可能となる条件は何か？
• RQ3 底体が Q の場合、関連するガロア表現族の構造はどのようなものか？その変数の数はいくつか？
• RQ4 幾何的仮定のもとで、構成されたガロア表現族が双対パラボリックに対してほぼ通常であるか？
• RQ5 固有系族の性質は、元の自動形式およびモチーフ的構造とどのように関係しているか？

主な発見

• 完全実体 F 上の GSp(4) におけるコhomological な (p,P)-通常ヘッケ固有系に対して、それらを含む複数変数 p-進族の (p,P)-ほぼ通常固有系が存在する。
• F=Q の場合、この族は正確に三変数であり、Siegel-Hilbert モジュラー形式の三次元パラメータ空間に対応する。
• 固有系族に付随する三変数 p-進族のガロア表現 ρ_{underline{λ}} が構成される。
• ガロア表現がグローテンディークのモチーフから生ずるとの仮定のもと、族 ρ_{underline{λ}} が双対パラボリックに対してほぼ通常であることが示される。
• この構成は、以前のほぼ通常族に関する結果を、より高ランクのシンプレクティック群および Hilbert モジュラー形式の状況に一般化する。
• 仮定は弱く、コhomological であることと (p,P)-通常性のみに依拠しており、Annales Scientifiques de l'ENS に掲載予定である。