[論文レビュー] Shadowing and Expansivity in Sub-Spaces

Andrew Barwell, Chris Good+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、連続写像が定義域の真部分集合に制限された場合のシャドウイングおよび拡張性の性質を調査し、さまざまなシャドウイングおよび拡張性の概念の間で同値性を確立する。臨界点から離れた部分集合上での拡張写像がシャドウイングを示すことを証明し、区間写像に関する既知の結果を一般化するとともに、h-シャドウイングホメオモルフィズムは、完全に離散な空間でのみ可能であることを示している。

ABSTRACT

We address various notions of shadowing and expansivity for continuous maps restricted to a proper subset of their domain. We prove new equivalences of shadowing and expansive properties, we demonstrate under what conditions certain expanding maps have shadowing, and generalize some known results in this area. We also investigate the impact of our theory on maps of the interval, in which context some of our results can be extended.

研究の動機と目的

• 全空間からのシャドウイングおよび拡張性の理論を、特に不変部分空間に制限された写像に拡張すること。
• 特に臨界点から離れた領域において、距離拡張性と球拡張性の2つの拡張性の概念の関係を明確にし、それらが同値であることを示すこと。
• 写像が拡張的または拡張性を持つ部分集合上でのシャドウイング性質の振る舞いを、特に区間写像の文脈で調査すること。
• 特に勾配の絶対値が1より大きい分岐線形写像およびロジスティック写像のような滑らかな写像に対して、区間写像におけるシャドウイングに関する既知の結果を一般化すること。
• h-シャドウイングが等連続性および完全に離散性を意味するための位相的条件を同定すること、特にホメオモルフィズムの文脈で。

提案手法

• 距離拡張性（定義2.2）と球拡張性（定義2.4）の2つの拡張性の概念を導入し、比較し、写像が局所的に1対1かつ開でない点（臨界点）を除いて、それらが同値であることを証明する。
• 不変部分集合上でのさまざまなシャドウイング性質（h-シャドウイングを含む）を定義・分析し、擬似軌道のトレースと等連続性の議論を用いる。
• 区間写像に理論を適用するため、勾配の絶対値が1より大きい分岐線形写像と滑らかな写像を分析し、臨界点から離れた集合上でシャドウイングが成立することを示す。
• 再帰性、連結性の議論、擬似軌道の連結を用いて、h-シャドウイングの仮定の下で連結成分において矛盾を導く。
• 等連続系および最大等連続因子に関する結果を適用し、弱混合系は、空間が単一の点でない限りh-シャドウイングを許容できないことを示す。
• 部分集合の開被覆に対するLebesgue数を用いて、擬似軌道トレースおよびシャドウイングにおける一様性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間の部分集合上で、距離拡張性と球拡張性の写像が同値となる条件は何か？
• RQ2 空間の真部分集合上で拡張写像がシャドウイング性を示すのはいつか？
• RQ3 区間写像の文脈において、シャドウイングとh-シャドウイングの関係は何か、特に臨界点から離れた領域で。
• RQ4 h-シャドウイングが力学系に課す位相的制約は何か、特にホメオモルフィズムの文脈で。
• RQ5 勾配の絶対値が1より大きい分岐線形写像に関する結果を、ロジスティック写像のような滑らかな区間写像へ拡張可能か？

主な発見

• 写像が局所的に1対1かつ開である部分集合（臨界点を除く）では、距離拡張性と球拡張性の写像が同値である。
• 臨界点から離れた部分集合上での拡張写像（特に勾配の絶対値が1より大きい分岐線形写像）は、強力なシャドウイング性質を示す。
• 本稿はPrzytyckiとUrbanskiの結果を一般化し、仮定を弱める（例えば、部分集合上で局所的開性と単射性のみを要請）一方で、結論をシャドウイングを含むより強いものに強化している。
• ホメオモルフィズムでは、h-シャドウイングは等連続性を意味し、その結果空間は完全に離散的である。このような系は、非自明な場合、弱混合にはなり得ない。
• 弱混合系では、最大等連続因子が自明であるため、空間が単一の点でない限りh-シャドウイングは不可能である。
• カントール集合と孤立点の和集合上の恒等写像は、等連続性とシャドウイングを満たすが、最小でない。これは、完全に離散性はh-シャドウイングのための必要条件ではあるが、単一の点のケースを超えては十分でないことを示している。