[論文レビュー] Shadowing, expansiveness and specification for C1-conservative systems

Mário Bessa, M. Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、次元 $d \geq 3$（流の場合 $d \geq 4$）の多様体上の体積保存微分同相写像および流の $C^1$-一般および $C^1$-安定な設定において、シャドウイング性、拡張性、弱仕様性の各性質が、アノソフ系を特徴づけることを確立している。主な結果は、これらの性質が一般に成り立つ、あるいは安定に成り立つのは、系がアノソフである場合に限ることであり、保存的力学系におけるアノソフ系から離れた一般の非双曲的性質に関する予想を解決する。

ABSTRACT

We prove that a C1-generic volume-preserving dynamical system (diffeomorphism or flow) has the shadowing property or is expansive or has the weak specification property if and only if it is Anosov. Finally, we prove that the C1-robustness, within the volume-preserving context, of the expansiveness property and the weak specification property, imply that the dynamical system (diffeomorphism or flow) is Anosov.

研究の動機と目的

• 体積保存微分同相写像および流の $C^1$-位相において、シャドウイング性、拡張性、弱仕様性が一般に成り立つかどうかを同定すること。
• これらの性質が保存的設定におけるアノソフ系と $C^1$-安定に同値であるかどうかを調査すること。
• 非アノソフな保存的系が一般にこれらの力学的性質を欠くかどうかという未解決の問題を解決すること。
• 散逸的力学系における既知の結果を、特に流および高次元系を含む保存的（体積保存）文脈へと拡張すること。
• 保存的クラスにおいて、弱仕様性、拡張性、またはシャドウイング性の $C^1$-安定性が、グローバル双曲性（アノソフ）を示すことの証明。

提案手法

• 体積保存微分同相写像群 ${\rm Diff}_{\mu}^{1}(M)$ およびベクトル場空間 $\mathfrak{X}_{\mu}^{1}(M)$ 上の $C^1$-ホイットニー位相における残渣集合を分析するためのバナッハ・カテゴリー理論の使用により、性質の一般性を確立する。
• ロビンソンの $C^1$-体積保存版のクプラ＝スメー定理を適用し、安定・不安定多様体の横断的交わりを保証する。
• 弱仕様性およびその $C^1$-安定性の応用により、周期点のインデックスに制約を課し、非双曲的性が生じる場合に矛盾を導く。
• ドミネートド・スプリング構造およびトポロジカル・ミキシングの利用により、流における $C^1$-安定弱仕様性からグローバル双曲性を導出する。
• 文献[37]および[6]の技術を適応し、$C^1$-安定弱仕様性が非双曲的周期軌道の不在を示すことを証明する。
• 背理法による証明：アノソフでない系が $C^1$-安定弱仕様性を持つと仮定すると、異なるインデックスを持つ周期点が存在し、横断性条件に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャドウイング性が体積保存微分同相写像において $C^1$-一般に成り立つのは、系がアノソフである場合に限るか？
• RQ2 保存的クラスにおける弱仕様性の $C^1$-安定性が、系がアノソフであることを示すか？
• RQ3 弱仕様性を欠く $C^1$-一般の体積保存微分同相写像がアノソフクラスの外に存在しうるか？
• RQ4 多様体の次元が、これらの性質によるアノソフ系の特徴づけの有効性にどのように影響するか？
• RQ5 面積保存写像における弱仕様性の障害となる楕円的軌道および不変円周の役割は何か？

主な発見

• 体積保存微分同相写像が $C^1$-一般にシャドウイング性を有するのは、アノソフである場合に限る。
• 体積保存微分同相写像が $C^1$-一般に拡張性を有するのは、アノソフである場合に限る。
• 体積保存微分同相写像が $C^1$-一般に弱仕様性を有するのは、アノソフである場合に限る。
• 保存的クラスにおける弱仕様性の $C^1$-安定性は、系がアノソフであることを示す。
• 流の場合、弱仕様性の $C^1$-安定性は次元 $d \geq 4$ においてグローバル双曲性（すなわちアノソフ）を示す。
• 表面の場合（$d=2$）、弱仕様性の $C^1$-安定性は、楕円的軌道および不変円周による障害を介してアノソフを示す。