[論文レビュー] Shape Derivative for Penalty-Constrained Nonsmooth-Nonconvex Optimization: Cohesive Crack Problem

Victor A. Kovtunenko, Karl Kunisch|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2022

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 56被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、準破壊破壊をモデル化する変分不等式に制約を受ける非滑らかで非凸な最適化問題に対する形状微分の公式を開発する。ラブレニエフ正則化とラグランジュ乗数法を用いて、原始的および随伴状態を含む明示的な解析的表現を導出し、レベルセットに類似したアルゴリズムを用いて境界測定値からの形状勾配に基づくクラック幾何形状同定を可能にした。数値実験では23%の形状誤差に収束した。

ABSTRACT

A class of non-smooth and non-convex optimization problems with penalty constraints linked to variational inequalities (VI) is studied with respect to its shape differentiability. The specific problem stemming from quasi-brittle fracture describes an elastic body with a Barenblatt cohesive crack under the inequality condition of non-penetration at the crack faces. Based on the Lagrange approach and using smooth penalization with the Lavrentiev regularization, a formula for the shape derivative is derived. The explicit formula contains both primal and adjoint states and is useful for finding descent directions for a gradient algorithm to identify an optimal crack shape from a boundary measurement. Numerical examples of destructive testing are presented in 2D.

研究の動機と目的

• 非滑らかで非凸な破壊問題における非貫通制約を伴う形状最適化の課題に取り組む。
• 境界測定値に基づく最小二乗誤差関数の形状微分可能な定式化を開発する。
• 正則化された変分不等式モデルを用いて、勾配ベースの手法により準破壊破壊におけるクラック幾何形状を同定可能にする。
• 逆クラック検出アルゴリズムに使用可能な数値的に実装可能な形状微分の公式を提供する。

提案手法

• バレンブレットクラックモデルにおける非滑らかエネルギー項のC2滑らか近似を構築するため、ラブレニエフ正則化を用いる。
• 滑らかな法線接触を用いたペナルティ法を適用し、非貫通条件を強制する。これにより、元の変分不等式が微分可能な系に置き換えられる。
• ラグランジュフレームワークを用いて形状微分を導出し、原始的および随伴状態変数を導入する。
• 形状微分を原始的および随伴状態を含む境界積分の和として定式化し、クラック界面における速度場の明示的表現を導出する。
• 原始的および随伴方程式の有限要素離散化を実装し、一次元線形要素と整合的な数値積分を用いる。
• 形状微分を用いて反復的にクラック界面を更新する降下アルゴリズムを提案し、境界における動的スケーリングと速度射影を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分不等式でモデル化された cohesive クラックを制約とする非滑らかで非凸な最適化問題に対して、形状微分をどのように導出できるか。
• RQ2 エネルギー関数のC2滑らか性を保ちつつ、cohesive クラックモデルの物理的整合性を維持する正則化技術は何か。
• RQ3 勾配ベース最適化に適した形で、随伴法による形状微分を原始的および随伴状態の観点から明示的にどのように定式化できるか。
• RQ4 導出された形状微分は、破壊的物理的解析設定において境界測定値からのクラック界面同定をどの程度正確に可能にするか。

主な発見

• 形状微分は原始的および随伴状態を含む境界積分として閉形式で導出され、効率的な勾配計算が可能となった。
• 数値結果から、引っ張り力がクラックの完全な開口を誘発する場合、200反復後に形状誤差比が23%に達することが示された。
• 小さなペナルティパラメータ ε = 1e−8 を用いた場合、目的関数比が初期値の0.25%にまで低下し、強い収束性が示された。
• アルゴリズムはクラックの非接触部で最も良好に機能したが、弱い荷重下では接触／接着領域の更新が不十分であった。
• 引っ張り力を増加させることでクラック全体の界面回復が向上し、形状誤差は弱い荷重下の46%から23%に低減した。