[논문 리뷰] Shape Theory. III. Comparative Theory of Backgound Independence

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 63인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 캐논ical 제약과 관측 가능성을 통해 국소적으로 시간 문제를 해결하는 방식으로, 형태(-및 척도) 이론을 확장하여 상대성 이론 내 배경 독립성에 대한 비교 이론을 제시한다. Hausdorff 분리 가능이고 국소 콪 pact한 축약된 구성 공간이 전역 일관성을 가능하게 하며, 이는 유클리드 기하학적 상대론적 모델을 아핀 또는 사영 기하학적 모델보다 선호하는 선택 원칙을 도출한다.

ABSTRACT

Background Independence is the modern form of the relational side of the Absolute versus Relational Debate. Difficulties with its implementation form the Problem of Time. Its 9 facets - Isham and Kuchař's conceptual classification - correspond to 9 aspects of Background Independence as per the Author's classical-or-quantum theory-independent upgrade. 8 are local. The most significant arena for these is brackets algebra, the first 5 involving canonical constraints as follows. 1) Handling instantaneous gauge invariance. 2) Resolving its apparent timelessness. 3) Closure of 1-2)'s constraints. 4) Expression in terms of observables: commutants with constraints. 5) Reconstructing spacetime from constraint algebra rigidity. 6) is the spacetime counterpart of 2-4), and 7) is spacetime's foliation independence. 8) handles nonuniqueness. 9) renders 1-8) globally sound. We show how Shape(-and-Scale) Theory's mastery of 1) for N-point-particle models extends by placing a mechanics over shape(-and-scale) space to model 1-4). For flat-space Euclidean and similarity models, this gives a local resolution of the Problem of Time. This is moreover consistent within a global treatment if its reduced spaces are Hausdorff paracompact, which admit a Shrinking Lemma. GR's superspace is also Hausdorff paracompact. While 1-9) are poseable for all relativistic theories, and 1-4), 8), 9) for all theories - to all levels of mathematical structure: affine, projective, conformal, topological manifold, topological space... - resolution is on a case-by-case basis. Among N-point-particle theories, then, Article II's Hausdorff paracompact reduced space guarantee selects a very small subset. In particular, affine and projective shapes are precluded and conceiving in terms of shapes in space is preferred over doing so in spacetime. A substantial Selection Principle for Comparative Background Independence is thus born.

연구 동기 및 목표

• Isham과 Kuchař의 배경 독립성의 아홉 측면을 통합하여 일관된 프레임워크로 만드는 것.
• 형태(-및 척도) 역학이 배경 독립성의 첫 넷의 국소적 해결책을 제공함을 보여주는 것: 게이지 불변성, 시간의 부재, 제약 닫힘, 관측 가능성의 표현.
• Hausdorff 분리 가능이고 국소 콱 pact한 축약된 공간을 통해 전역 일관성 조건을 확립하여 배경 독립성 측면의 전역 타당성을 보장하는 것.
• 위상수학적 및 기하학적 제약 조건에 기반해 유클리드 기하학적 모델(유클리드 및 유사성)이 아핀 또는 사영 기하학적 모델보다 유일하게 선호되는 선택 원칙을 규명하는 것.
• 일반 상대성 이론으로의 프레임워크 확장을 통해 그 형태(-및 척도) 공간의 유사체를 식별하고, 제약 대수의 강성에 기반한 시공간 재구성 방법을 보여주는 것.

제안 방법

• 형태(-및 척도) 이론을 연장하여 상대론적 구성 공간에서 역학을 모델링하고, 형태(-및 척도) 공간을 기본적인 구성 공간으로 간주하는 것.
• 캐논ical 제약 형식을 적용하여 배경 독립성의 1~4번 측면을 처리: 순순간 게이지 불변성 다루기, 시간의 부재 해결, 제약의 닫힘 보장, 공액자(commutants)를 통한 관측 가능성 표현.
• 브라켓 대수학과 리 이론적 구조(유동, 미분, 적분 불변량)를 사용하여 제약 역학과 관측 가능성을 분석하는 것.
• 강성 정리들을 활용하여 제약 대수의 강성에 기반해 국소 시공간을 재구성하는 것—특히 유클리드 및 유사성 $N$-점 입자 모델의 맥락에서.
• 일반 상대성 이론으로의 확장을 위해 초스페이스가 Hausdorff 분리 가능이고 국소 콱 pact한 공간임을 식별하고, 축소 정리(Shrinking Lemma)를 통해 전역 일관성을 확보하는 것.
• 현대 전역 분석 도구—층, 코homology, 분할 다양체, 그리고 피브어 번들—을 활용하여 시공간의 전역 문제와 양자 확장에서의 비유일성 문제를 다루는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 배경 독립성의 아홉 측면을 고전 이론과 양자 이론 전반에 걸쳐 일관되고 상호 간섭이 없는 프레임워크로 통합할 수 있는가?
• RQ2 형태(-및 척도) 역학은 배경 독립성의 첫 네 가지 측면을 어떻게 국소적으로 해결하는가? 어떤 의미에서인가?
• RQ3 축약된 구성 공간에 대한 위상수학적 및 기하학적 조건은 무엇이어야 하며, 이는 시간 문제 맥락에서 배경 독립성의 전역 일관성을 보장하는가?
• RQ4 왜 배경 독립성 맥락에서 유클리드 기하학적 모델(유클리드 및 유사성)이 아핀 또는 사영 기하학적 모델보다 특별히 유리한가?
• RQ5 시공간 기하학이 사전에 존재하지 않는 조건에서 제약 대수의 강성에 기반해 시공간을 어떻게 재구성할 수 있으며, 이는 캐논ical 형식과 시공간 형식 양쪽 모두와 일관성이 있는가?

주요 결과

• 형태(-및 척도) 역학은 형태(-및 척도) 공간 위에 역학을 수립함으로써, 게이지 불변성, 시간의 부재, 제약의 닫힘, 관측 가능성 표현이라는 배경 독립성의 첫 네 가지 측면을 성공적으로 해결한다.
• 축약된 구성 공간이 Hausdorff 분리 가능이고 국소 콱 pact해야 한다는 조건은 배경 독립성의 전역 일관성을 보장하며, 이는 아핀 및 사영 모델을 배제하는 선택 원칙을 제공한다.
• $N$-점 입자 시스템의 경우, 오직 유클리드 및 유사성 기하학적 모델만이 Hausdorff 분리 가능이고 국소 콱 pact 조건을 만족하므로, 일관된 상대론적 이론에 대해 유일하게 타당한 모델이 된다.
• 일반 상대성 이론의 초스페이스가 Hausdorff 분리 가능이고 국소 콱 pact하다는 것이 입증되었으며, 이는 일반 상대성 이론에도 동일한 전역 일관성 프레임워크를 적용할 수 있음을 의미한다.
• 시공간 기하학이 사전에 존재하지 않는 조건에서 제약 대수의 강성에 기반해 시공간을 재구성할 수 있으며, 이는 상대론적 시공간 구성의 타당성을 확인한다.
• 이 프레임워크는 $d$-토러스 $b{T}^d$, $d$-구 $b{S}^d$, $b{RP}^d$ 를 대체 상대론적 모델로 식별하지만, 유일하게 전반적인 일관성 조건을 만족하는 것은 유클리드 기하학적 모델뿐이다.