[논문 리뷰] Sharp inequalities which generalize the divergence theorem--an extension of the notion of quasiconvexity, with an addendum

Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 05.

Composite Material Mechanics참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $Q^*$-볼록성이라는 새로운 개념을 통해 이차 함수의 더 넓은 클래스로 준볼록성(quasiconvexity)을 일반화하며, 벡터 포텐셜의 기울기와 고차 도함수를 포함하는 이차 형식의 적분에 대해 날카로운 부등식을 도출함으로써 발산 정리를 일반화한다. 주요 기여는 극값 $Q^*$-볼록 함수를 생성하는 알고리즘을 제안함으로써 오랫동안 미해결이었던 극값 준볼록 이차 함수를 구성하는 문제를 해결한 것이다.

ABSTRACT

Subject to suitable boundary conditions being imposed, sharp inequalities are obtained on integrals over a region $Ω$ of certain special quadratic functions $f(\bf{E})$ where $\bf{E}(\bf{x})$ derives from a potential $\bf{U}(\bf{x})$. With $\bf{E}= abla\bf{U}$ it is known that such sharp inequalities can be obtained when $f(\bf{E})$ is a quasiconvex function and when $\bf{U}$ satisfies affine boundary conditions (i.e., for some matrix $\bf{D}$, $\bf{U}=\bf{D}\bf{x}$ on $\partialΩ$). Here we allow for other boundary conditions and for fields $\bf{E}$ that involve derivatives of a variety orders of $\bf{U}$. We define a notion of convexity that generalizes quasiconvexity. $Q^*$-convex quadratic functions are introduced, characterized and an algorithm is given for generating sharply $Q^*$-convex functions. We emphasize that this also solves the outstanding problem of finding an algorithm for generating extremal quasiconvex quadratic functions. We also treat integrals over $Ω$ of special quadratic functions $g(\bf{J})$ where $\bf{J}(\bf{x})$ satisfies a differential constraint involving derivatives with, possibly, a variety of orders. The results generalize an example of Kang and the author in three spatial dimensions where $\bf{J}(\bf{x})$ is a $3 imes 3$ matrix valued field satisfying $ abla\cdot\bf{J}=0$. In the addendum the paper is clarified. Notably, much more general boundary conditions are given under which sharp lower bounds on the integrals of certain quadratic functions of the fields can be obtained. As a consequence, strict $Q^*$-convexity is found to be an appropriate condition to ensure uniqueness of the solutions of a wide class of partial differential equations with constant coefficients, in a given domain $Ω$ with appropriate boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 선형 함수형의 고전적 경우를 초월하여 포텐셜에서 유도된 필드의 이차 함수 적분에 대해 날카로운 부등식을 도출함으로써 발산 정리를 일반화하는 것.
• 기존 이론의 한계를 해결하기 위해 고차 도함수와 비아핀 경계 조건을 수용할 수 있도록 준볼록성의 개념을 확장하는 것.
• 극값 준볼록 이차 함수를 구성하는 열린 문제를 $Q^*$-볼록성의 도입과 특성화를 통해 해결하는 것.
• 미분 제약 조건을 만족하는 분야에 적용 가능한 체계적인 $Q^*$-볼록 이차 함수 생성 알고리즘을 제공하는 것.
• 잠재력에서 유도된 필드와 발산이 없는 필드를 포함하는 결합 시스템으로 결과를 일반화하고, 재료 과학 및 동질화 이론에의 응용을 다루는 것.

제안 방법

• 미분 제약 조건과 관련된 특정 부분공간에서 이차 형식의 양의 정의를 통해 정의된 $Q^*$-볼록성의 일반화로 준볼록성의 개념을 확장한다.
• 미분 연산자의 핵을 포함하는 일반화된 레이지앙-하다르드 조건을 사용하여 $Q^*$-볼록 이차 함수를 특성화한다.
• 기본 행렬에서 단계적으로 랭크-일치 양의 준정의 텐서를 빼내는 반복 알고리즘을 개발하여 극값 $Q^*$-볼록 함수를 구성한다.
• 푸리에 분석과 주기적 필드 분해를 활용하여 부등식의 극한을 달성하는 $Q^*$-특수 필드를 유도함으로써 날카로움을 보장한다.
• 임의의 차수의 미분 연산자를 통해 유도된 필드와 발산이 없는 전류 필드에 대해 이론을 적용한다.
• 이차 형식이 $Q^*$-볼록이거나 경계적 $Q^*$-볼록일 경우 날카로운 부등식이 성립하며, 이는 비상수 특수 필드에서 등호가 성립함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기 유사 필드의 이차 함수 적분에 대해 날카로운 부등식을 발산 정리와 아핀 경계 조건을 초월하여 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 고차 도함수를 포함할 경우 날카로운 경계를 허용할 수 있는 준볼록성의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 극값 준볼록 이차 함수를 생성할 수 있는 알고리즘을 구성할 수 있으며, 이는 $Q^*$-볼록성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 잠재력에서 유도된 필드와 발산이 없는 전류 필드로 이루어진 결합 시스템에 대해 날카로운 부등식이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 등호만을 다루는 노울라그랑지안 이론을 날카로운 부등식을 포함하도록 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 차수의 포텐셜에서 유도된 필드의 이차 함수에 적용 가능한 준볼록성의 일반화로 $Q^*$-볼록성을 도입한다.
• 기본 행렬에서 랭크-일치 양의 준정의 텐서를 반복적으로 빼내는 방식으로 극값 $Q^*$-볼금 이차 함수를 생성하는 알고리즘이 제시된다. 이 과정은 더 이상 $Q^*$-볼금성을 유지할 수 없을 때까지 계속된다.
• 이차 형식이 경계적 $Q^*$-볼금이고 테스트 벡터가 관련 연산자의 상에 속해 있을 경우, 부등식의 상한이 무한대가 되며, 이는 날카로움을 나타낸다.
• ${f E} = abla^k {f U}$ 및 $ abla ullet {f J} = 0$를 만족하는 이차 형식 $f({f E})$와 $g({f J})$의 적분에 대해 날카로운 부등식이 확립되며, 이는 캉과 미لت론의 이전 결과를 일반화한다.
• $ ilde{f E}$는 잠재력에서 유도된 필드이고 ${f J}$는 발산이 없는 필드인 경우, $h( ilde{f E}, {f J})$가 이 둘에 대한 이차 형식인 결합 시스템으로 이론이 확장되며, $Q^*$-볼금성 조건 하에서 날카로운 경계가 성립한다.
• 비상수 $Q^*$-특수 필드에서 날카로운 부등식의 등호가 성립함을 확인함으로써 경계의 날카로움이 입증되고, 이를 실현하기 위한 구축 가능한 방법이 제시된다.