[論文レビュー] Sharp pointwise estimates for functions in the Sobolev spaces Hs(Rn)

Linéia Schütz, Juliana S. Ziebel+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ s > n/2 $ におけるソボレフ空間 $ H^s(\rr^n) $ の関数に対するガリャルド＝ニレングラッハのノルム不等式における最適定数 $ K(n,s) $ を確立する。フーリエ解析とスケーリングの議論を用いて、ガンマ関数と正弦関数を含む閉形式の表式を導出し、極値関数とヤングの不等式を用いてその最小性を証明する。

ABSTRACT

We obtain the optimal value of the constant K(n,s) in the Sobolev-Nirenberg-Gagliardo inequality $ \|\,u\,\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})} \leq K(n,s) \,\|\, u \,\|_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}^{1 - n/(2s)} \|\, u \,\|_{\dot{H}^{s}(\mathbb{R}^{n})}^{n/(2s)} $ where $ s > n/2 $.

研究の動機と目的

• $ H^m(\rr^n) $、$ m > n/2 $ における $ L^{\f{2m}{2m-n}} $ 型の点での推定値に関するガリャルド＝ニレングラッハ不等式における最適（最小）定数 $ K(n,s) $ を特定すること。
• 整数 $ s = m $ に限らない任意の実数 $ s > n/2 $ におけるソボレフ空間 $ H^s(\rr^n) $ への最適定数の一般化を図ること。
• 等号が成立する極値関数の構成により、導出された定数が最適であることを証明すること。
• 長年の文献の空白を解消し、この基本的不等式における最適定数の正確な値を提供すること。

提案手法

• フーリエ変換を用いて、同次ノルム $ \|u\|_{\dot{H}^s(\rr^n)} $ を $ \int_{\rr^n} |\xi|^{2s} |\hat{u}(\xi)|^2 d\xi $ の形に表現すること。
• 変数変換 $ u_\lambda(x) = u(\lambda x) $ を用いたスケーリング不変性の応用により、$ \lambda > 0 $ をパrameterとする不等式の族を導出すること。
• 得られた式を $ \lambda $ で最小化することで、$ n $、$ s $、および特殊関数を含む最適定数 $ K(n,s) $ の式を導出すること。
• ヤングの不等式を用いて $ H^s $-ノルムを $ L^2 $ と $ \dot{H}^s $-ノルムの積で上から抑えることにより、重要な比較を確立すること。
• 等号が成立することを確認するための特定の極値関数 $ \hat{w}(\xi) = c / (1 + |\xi|^{2s}) $ の構成により、最適性を証明すること。
• ガンマ関数 $ \Gamma(n/2) $、正弦関数 $ \sin(\pi n / (2s)) $、および $ (n/(2s - n)) $ と $ (2s/(2s - n)) $ の有理数乗を含む、$ K(n,s) $ の明示的公式の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ H^m(\rr^n) $、$ m > n/2 $ におけるガリャルド＝ニレングラッハ不等式の最適定数 $ K(n,m) $ の正確な値は何か？ ただし右辺は $ \|u\|_{L^2}^{1 - n/(2m)} \|D^m u\|_{L^2}^{n/(2m)} $ を含む。
• RQ2 整数階ソボレフ空間 $ H^m(\rr^n) $ における最適定数を、整数に限らない任意の実数階 $ s > n/2 $ における $ H^s(\rr^n) $ に一般化する方法は何か？
• RQ3 提案された定数 $ K(n,s) $ は真に最適であるのか？ あるいは、すべての $ u \in H^s(\rr^n) $ に対して同じ不等式を満たすより小さい定数が存在するのか？
• RQ4 フーリエ変換は、不等式で等号が成立する極値関数を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 ガンマ関数や正弦関数などの既知の特殊関数を含む閉形式で、最適定数を表現できるか？

主な発見

• ガリャルド＝ニレングラッハ不等式における $ H^m(\rr^n) $、$ m > n/2 $ における最適定数は、明示的公式により与えられる： $$ K(n,m) = (4\pi)^{-n/4} \left( \frac{n}{2} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \right)^{-1/2} \left( \frac{\sin(\pi n / (2m))}{\pi n / (2m)} \right)^{-1/2} \left( \frac{n}{2m - n} \right)^{-n/(4m)} \left( \frac{2m}{2m - n} \right)^{1/2}. $$
• 任意の $ s > n/2 $ に対して、不等式 $ \|u\|_{L^\infty(\rr^n)} \leq K(n,s) \|u\|_{L^2}^{1 - n/(2s)} \|u\|_{\dot{H}^s}^{n/(2s)} $ の最適定数は、$ m $ を $ s $ に置き換えた同じ公式で与えられ、これは整数 $ s $ を超える一般化を示している。
• 極値関数 $ \hat{w}(\xi) = c / (1 + |\xi|^{2s}) $ が不等式で等号を達成するため、定数 $ K(n,s) $ が実際に最適であることが証明される。
• ヤングの不等式を用いた不等式の連鎖における等号成立により、定数 $ K(n,s) $ が、すべての $ u \in H^s(\rr^n) $ に対して不等式を満たす最小の定数であることが示される。
• $ n=1, m=2 $ の場合、最適定数により $ \|u\|_{L^\infty(\rr)} \leq \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[8]{27}} \|u\|_{L^2}^{3/4} \|D^2 u\|_{L^2}^{1/4} $ が得られ、これは最適である。
• $ n=2, m=2 $ の場合、最適定数により $ \|u\|_{L^\infty(\rr^2)} \leq \frac{1}{2} \|u\|_{L^2}^{1/2} \|D^2 u\|_{L^2}^{1/2} $ が得られ、この評価は最適である。