[論文レビュー] Sharpening "Primes is in P" for a large family of numbers

Pedro Berrizbeitia|ArXiv.org|Nov 20, 2002

Analytic Number Theory Research被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、整数 n ≡ 1 (mod 4) に対して与えられた a が (a|n) = −1 を満たす場合、および n ≡ −1 (mod 4) に対して与えられた a が (a|n) = (1−a|n) = −1 を満たす場合の決定的素数判定法を提示する。これらのアルゴリズムは有限体内の代数的構造を利用し、(n, x^{2s} − a) を法とする単項式合同式を用いて検証の複雑度を低減する。k = ν₂(n−1) もしくは ν₂(n+1) が 2 log log n を超える場合、時間計算量は ˜O(log n)^4 まで低下し、有利な状況下で AKS アルゴリズムの ˜O(log n)^12 に比べ顕著に向上する。

ABSTRACT

We give Deterministic Primality tests for large families of numbers. These tests were inspired in the recent and celebrated Agrawal-Kayal-Saxena (AKS) test. The AKS test has proved polynomial complexity O ((log n)^12) and they expect it to be O ((log n)^6) . Our tests have proved complexity O ((log n)^6). The complexity decreases to O ((log n)^4) as the power of 2 dividing n + 1 or n - 1 increases. On large enough primes, our tests, in their worst case, run at least 2^9 times faster than the AKS test.

研究の動機と目的

• 広範かつ密な整数族に対して AKS アルゴリズムより高速な決定的素数判定法の開発。
• AKS の多項式次数の高さという制限を、ν₂(n±1) が大きい数の構造的性質を活用することで克服。
• Proth や Lucas-Lehmer テストの一般化と改善を図り、ν₂(n−1) もしくは ν₂(n+1) に対する要件を緩和。
• 有限体内の自己同型と単項式の対称性を活用し、多項式合同式の検証回数を削減。
• 2-adic 付値 k = ν₂(n−1) もしくは ν₂(n+1) に応じて計算量を適応的に調整するフレームワークを提供し、k が大きい場合に近似的最適な性能を達成。

提案手法

• s = ⌈2 log log n⌉ に対して、AKS の (m + x)^n ≡ m + x^n (mod n, x^r − 1) の代わりに、単項式合同式 (1 + mx)^n ≡ 1 + mx^n (mod n, x^{2s} − a) を用いる。
• 体の自己同型が単項式構造を保存することを活用し、必要な m の値の数を 2√r log n から 2^{max(s−k,0)} に削減。
• ガロア自己同型の下での 1 + mx^n の共役も同様の合同式を満たすという事実を活用し、一括検証を可能にする。
• G_n をフロベニウスに関して閉じた単項式の群とするとき、|G_n| > n^{2s/2} を満たす最小の整数 s を定義することで、AKS の固定された r よりも効率的になる。
• Z_n[i] もしくは Z_n[√a] に適切な代数的構造が存在することを保証するため、ヤコビ記号条件 (a|n) = −1 あるいは (a|n) = (1−a|n) = −1 を用いる。
• n ≡ 1 および n ≡ −1 (mod 4) のそれぞれに対してパラメータ化されたテスト A_u と B_u を導入し、計算量を k と u に依存させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ν₂(n−1) もしくは ν₂(n+1) が大きい整数に対して、決定的であることを保ちつつ素数判定を高速化できるか？
• RQ2 代数的対称性を活用することで、AKS に類似したアルゴリズムにおける多項式合同式の検証回数をどれほど削減できるか？
• RQ3 r が素数でなくてもよい条件下で、n の r における位数が大きいことが分かっている場合、AKS アルゴリズムの計算量をどの程度改善できるか？
• RQ4 素数判定の計算量を、特に 2-adic 付値に応じて n の構造に適応させることは可能か？
• RQ5 密な整数族に対して、AKS の最良ケース性能と同等の ˜O(log n)^4 時間で動作するが、定数因子がはるかに小さい素数判定法を構築可能か？

主な発見

• n ≡ 1 (mod 4) の場合、アルゴリズムの実行時間は 2^{−min(k, [2 log log n])} ˜O(log n)^6 であり、k ≥ 2 log log n のとき ˜O(log n)^4 にまで改善される。
• k = ν₂(n−1) ≥ 2 log log n である大きな素数に対して、最良ケースの AKS アルゴリズムに比べ少なくとも 2^11 倍速くなる。
• n ≡ −1 (mod 4) の場合、同じく ˜O(log n)^4 の計算量を達成し、最悪ケースで AKS に比べ 2^9 倍速くなる。
• k > 1/2 log n のとき、アルゴリズムは ˜O(log n)^2 時間で実行され、このような数族の最適計算量に近づく。
• テスト A_u の計算量は約 2^{4(u−1)} 2^{−min(max(k−s,0), 2(u−1))} ˜O(log n)^6 であり、u および k に指数的依存性を示す。
• 著者らは、s と群構造を適応的に調整することで、k が 2 から 1/2 log n の範囲で、すべての k に対して ˜O(log n)^2 計算量にさらなる最適化が可能であると予想している。