[論文レビュー] Sheaves for predicative toposes

Benno van den Berg|ArXiv.org|Jul 22, 2005

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$Π W$-プレトポスおよび関連概念といったカテゴリー的構造——特にトポスの予言的類似物——を導入・研究し、予言的形式的体系のシーブモデルを可能にする。これらの構造が内部サイト上のプレシェーブおよびシーブの両方に対して安定であることを確立し、複数選択の公理（AMC）に依存しない。また、MoerdijkとPalmgrenの分層的擬トポスの代替として、ユニバース作用素公理（UO）を用いたより単純な代替案を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we identify some categorical structures in which one can model predicative formal systems: in other words, predicative analogues of the notion of a topos, with the aim of using sheaf models to interprete predicative formal systems. Among our technical results, we prove that all the notions of a ``predicative topos'' that we consider, are stable under presheaves, while most are stable under sheaves.

研究の動機と目的

• CZF や Martin-Löf 型理論といった構成的・予言的形式的体系をモデル化するための、トポスの予言的類似物として機能するカテゴリー的枠組みを構築すること。
• 特に冪対象や部分対象分類子に依存する非予言的トポスの論理的制限を克服するため、より弱く予言的適合の構造を導入すること。
• これらの予言的トポス的構造が内部サイト上のプレシェーブおよびシーブの形成に関して安定であることを確立し、論理的応用にとって不可欠な反復的構成を可能にすること。
• MoerdijkとPalmgrenの分層的擬トポスの代替として、ユニバース作用素公理（UO）を有する$Π W$-プレトポスを導入し、AMCの必要性を回避するより単純な代替案を提供すること。
• 内部サイト上のシーブ圏が、特にグロテンディーク収集サイトに同倣するとき、予言的トポス構造を保存することを示すこと。

提案手法

• 正則かつ局所カルテジアンクロージャーを持つカテゴリとして、W型および有限極限・余極限を備えた$Π W$-プレトポスを、予言的トポスの中心的候補として導入する。
• 収集公理（CA）を満たす小さな写像のクラスの概念を適用し、予言的状況において必須となるサイズ制限を制御可能にする。
• トポス内の内部サイト構成を用いてシーブを定義し、小さな被覆を小さな写像でモデル化することで、シーブトポスが必要な構造を継承することを保証する。
• シーブ圏をプレシェーブ圏に包含する埋め込み関手に対する左随伴としてのシーブ化ファンクターの存在を示し、内部サイトがグロテンディーク収集サイトである場合に成立することを示す。
• ベースとなるトポスからシーブトポスへの小さな写像の転送を、サイトの対象集合上のスライスカテゴリへの忘却ファンクターを介して定義し、継承されたクラスがCAまたはAMCを満たすことを保証する。
• 指数型およびW型がプレシェーブと同様にシーブでも計算されることを活用し、型理論的および集合論的構成の主要な性質を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CZF や Martin-Löf 型理論のような構成的・予言的形式的体系のシーブモデルを可能にする、トポスの予言的類似物としての定義は可能か？
• RQ2 内部サイト上のシーブの構成が、特に複数選択の公理（AMC）を仮定しない場合に、提案された予言的トポスのクラスにおいて安定するか？
• RQ3 ユニバース作用素公理（UO）は、MoerdijkとPalmgrenの分層的擬トポスの代替として、より単純かつ自然な代替手段を提供できるか？ また、シーブ構成に対して閉じているか？
• RQ4 内部サイト上のシーブ圏がどのような条件下で$Π W$-プレトポスの構造を継承するのか？ また、AMCのような強い公理に依存せずにこれを証明するにはどうすればよいか？
• RQ5 ベースとなるトポスからそのシーブトポスへの小さな写像の転送は、どのように行えば収集公理を保ち、かつシーブトポスが有効な予言的トポスのままでいられるか？

主な発見

• 検討されたすべての予言的トポスの概念——特に$Π W$-プレトポスおよびユニバース作用素公理（UO）を満たすもの——は、内部圏上のプレシェーブの形成に関して安定である。
• ${\bf E}$ が収集公理を満たす小さな写像のクラスを備えた$Π W$-プレトポスであり、${\bf C}$ が$S$-小さな被覆を持つ内部サイトであるとき、シーブトポス$\mathrm{Sh}_{\bf E}(\bf C)$ は$Π W$-プレトポスである。
• MoerdijkとPalmgrenの研究における複数選択の公理（AMC）の仮定は、$Π W$-プレトポスのシーブ化における安定性を示すために不要であることが示された。
• ユニバース作用素公理（UO）は、$\mathrm{Sh}_{\bf E}(\bf C)$ がUOのもとで安定であることを示すことで、シーブに関して閉じた予言的トポスを構成するより単純で直接的な道筋を提供する。
• 内部サイト${\bf C}$ がグロテンディーク収集サイトに同値であるとき、シーブトポス$\mathrm{Sh}_{\bf E}(\bf C)$ は収集を満たす小さな写像のクラスを継承し、有効な予言的トポスのままであることが保証される。
• 内部サイトがグロテンディーク収集サイトであるとき、シーブ化ファンクターが存在し、プレシェーブへのシーブの包含関手に対する左随伴であることが保証される。これにより、シーブトポスにおける商と有限和の構成が可能になる。