[論文レビュー] Shell theories arising as low energy Γ-limit of 3d nonlinear elasticity

Marta Lewicka, Maria Giovanna Mora+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2008

Elasticity and Material Modeling被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、厚さ $ h $ の薄いシェルに対して、3次元非線形弾性のΓ極限としてシェル理論を導出する。エネルギースケーリングが $ h^4 $ の場合、極限モデルは任意の曲面へのvon Kármán板理論の一般化を示す。変分的妥当性を保証するΓ収束を用いて、曲げと面内ひずみの両方の効果を有限ひずみ下で正確に捉えた曲げシェルモデルを厳密に裏付ける。$ h^4 $ スケーリング下で、3次元の最小化子が2次元の最小化子に収束することを示す。

ABSTRACT

We discuss the limiting behavior (using the notion of Γ-limit) of the 3d nonlinear elasticity for thin shells around an arbitrary smooth 2d surface. In particular, under the assumption that the elastic energy of deformations scales like h^4 (where h is the thickness of a shell), we derive a limiting theory which is a generalization of the von Kármán theory for plates.

研究の動機と目的

• 任意の滑らかな中間面を持つ薄いシェルに対して、3次元非線形弾性のΓ極限として2次元シェル理論を厳密に導出すること。
• 3次元弾性エネルギーが $ h^4 $ スケーリングに従うときの極限エネルギー関数を特定すること。これは有限ひずみの領域に対応する。
• 1次および2次変位項から生じる曲げと面内ひずみの両方の効果を組み込むことで、von Kármán板理論を曲がったシェルへ一般化すること。
• $ h^4 $ エネルギースケーリング下で、3次元最小化子が2次元最小化子に収束することを確立し、2次元モデルの有効性を保証すること。
• 有限ひずみ空間 $ \mathcal{B} $ を定義・分析し、極限エネルギーが単純化される「近似的に剛性な表面」のクラスを導入すること。

提案手法

• エネルギーをスケーリングした3次元弾性エネルギー $ h^{-\beta} E^{elastic} $ の $ h \to 0 $ の極限をΓ収束を用いて分析し、特に $ \beta = 4 $ に注目する。
• Friesecke, James, Müller の定量的剛性推定を適用し、低エネルギー変形が剛体運動に近いことを示す。
• 変位 $ u $ を $ h $ のべき級数に展開し、1次項 $ V $ を無限小等長変換と特定し、2次項 $ w $ を2次近似変位と特定する。
• 極限エネルギー $ I_4 $ を、$ V $ による第2基本形式の変化と $ w $ による面内ひずみを含む関数として導出し、von Kármán汎関数を一般化する。
• 有限ひずみ空間 $ \mathcal{B} $ を定義し、極限汎関数の coercivity と最小化子の存在を証明する。
• Sobolev空間における弱収束と弱下界半連続性の議論を用いて、極限における最小化子の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギーが $ h^4 $ スケーリングに従うとき、薄いシェルにおける3次元非線形弾性のΓ極限は何か？
• RQ2 極限エネルギー関数は、どのようにしてvon Kármán板理論を任意の曲がった表面へ一般化するか？
• RQ3 極限エネルギーが曲げにのみ依存する条件は何か？ また、面内ひずみの寄与が現れる条件は何か？
• RQ4 エネルギーが $ h^4 $ スケーリングに従う場合、3次元最小化子が2次元最小化子に収束することは厳密に確立できるか？
• RQ5 有限ひずみ空間 $ \mathcal{B} $ の役割は何か？ また、極限汎関数の安定性と強制性とはどのように関係するか？

主な発見

• エネルギースケーリングが $ h^4 $ の場合、Γ極限 $ I_4 $ は曲げと面内ひずみの両方の効果を捉え、任意の曲面へのvon Kármán理論の一般化を実現する。
• 極限エネルギーは、無限小等長変換 $ V $ が引き起こす第2基本形式の変化と、2次変位 $ w $ による面内ひずみに依存する。
• 汎関数 $ I_4 $ は下から有界であり、有限ひずみ空間 $ \mathcal{B} $ 上で下界を達成するため、最小化子が存在することが保証される。
• 近似的に剛性な表面では、極限エネルギーは純粋な曲げエネルギーに簡略化され、モデルが単純化される。
• エネルギーが $ h^4 $ スケーリングに従う場合、3次元最小化子が2次元最小化子に収束することが確立され、2次元モデルが有効な近似であることが裏付けられる。
• Sobolev空間における有界性と弱下界半連続性を用いて、一般化 von Kármán 汎関数 $ J $ と $ \tilde{J} $ の強制性が証明された。