[论文解读] Shifted Symplectic Structures

Tony Pantev, Bertrand Toën+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 17

一句话总结

本文在导代数Artin堆上引入了$n$-位移辛结构，将经典辛几何推广至导范畴和高阶范畴设定。证明了从卡拉比-丘流形出发的映射堆、完美复形的导模堆以及拉格朗日子流形的交集均具有自然的位移辛结构，关键结果包括卡拉比-丘3流形上层的模堆具有$(-1)$-位移辛形式，以及从椭圆曲线到辛目标的映射具有相应结构。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers about \emph{quantization} in the context of \emph{derived algebraic geometry}. In this first part, we introduce the notion of \emph{$n$-shifted symplectic structures}, a generalization of the notion of symplectic structures on smooth varieties and schemes, meaningful in the setting of derived Artin n-stacks. We prove that classifying stacks of reductive groups, as well as the derived stack of perfect complexes, carry canonical 2-shifted symplectic structures. Our main existence theorem states that for any derived Artin stack $F$ equipped with an $n$-shifted symplectic structure, the derived mapping stack $ extbf{Map}(X,F)$ is equipped with a canonical $(n-d)$-shifted symplectic structure as soon a $X$ satisfies a Calabi-Yau condition in dimension $d$. These two results imply the existence of many examples of derived moduli stacks equipped with $n$-shifted symplectic structures, such as the derived moduli of perfect complexes on Calabi-Yau varieties, or the derived moduli stack of perfect complexes of local systems on a compact and oriented topological manifold. We also show that Lagrangian intersections carry canonical (-1)-shifted symplectic structures.

研究动机与目标

• 通过位移辛结构将辛几何推广至导范畴和高阶范畴设定。
• 为导Artin堆上的$n$-位移辛结构建立严格的框架。
• 证明关键模堆（包括导映射堆和导交集）上位移辛结构的存在性定理。
• 将已知的层模堆和表示模堆上的辛结构作为新形式化体系的特例恢复。
• 为未来在导代数几何中研究泊松结构、形式性及量子化奠定基础。

提出的方法

• 通过导余切复形$\wedge^2 \mathbb{L}_X[n]$中的闭$2$-形式定义$n$-位移辛结构，并施加非退化条件。
• 利用导余切复形$\mathbb{L}_X$在导代数几何中推广微分形式与闭形式。
• 应用主要存在性定理（定理2.5）证明：当$X$为维数$d$的卡拉比-丘流形时，$\mathbf{Map}(X,F)$继承$(n-d)$-辛结构。
• 在半单群的分类堆上构造$2$-位移辛结构，以及在完美复形的导堆$\mathbb{R}\mathbf{Perf}$上构造相应结构。
• 借助行列式映射$\mathbb{R}\mathbf{Perf}(X) \to \mathbb{R}\mathrm{Pic}(X)$，将$(-1)$-位移辛结构拉回到固定行列式的模堆上。
• 利用拉格朗日子流形$L \times^h_X L'$的导交集，通过定理2.9构造$(-1)$-位移辛结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将辛结构推广至经典$0$-位移情形之外的导范畴和高阶堆？
• RQ2 在何种条件下，导映射堆$\mathbf{Map}(X,F)$能从$F$继承位移辛结构？
• RQ3 卡拉比-丘流形上完美复形的导模堆上，其规范位移辛结构为何？
• RQ4 为何在卡拉比-丘3流形上层的模堆及导拉格朗日子流形交集中会出现$(-1)$-位移辛结构？
• RQ5 对称障碍理论的存在性是否可由更深层的$n$-位移辛结构推导而出？这对量子化有何含义？

主要发现

• 光滑完备卡拉比-丘$d$-流形上完美复形的导模堆具有自然的$(2-d)$-位移辛结构。
• 光滑完备$d$-流形上带有平坦联络的完美复形的导模堆具有自然的$2(1-d)$-位移辛结构。
• 紧致定向$d$-流形上局部系统完美复形的导模堆具有自然的$(2-d)$-位移辛结构。
• 椭圆曲线$E$与光滑概形$X$的导堆$\mathbb{R}\mathbf{Map}(E, T^*X)$具有自然的$(-1)$-位移辛结构。
• 光滑辛概形中拉格朗日子流形的导交集$L \times^h_X L'$具有自然的$(-1)$-位移辛结构。
• 卡拉比-丘3流形$X$上导堆$\mathbb{R}\mathbf{Perf}(X)$具有自然的$(-1)$-位移辛结构，其在截断上诱导出对称障碍理论。