[論文レビュー] Short introduction to Nonstandard Analysis

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Jul 10, 2004

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非標準解析の基礎的導入を提供し、超実数体 $^*\mathbb{R}$ の超冪を用いた構成と、標準的および非標準的記述の論理的同値性を保証する転送原理に焦点を当てている。非標準的積分の完全な測度論的枠組みとしてローブ積分を確立し、拡張可能な可積分関数に対して $I^\#_{1}f = J^\#f^+ - J^\#f^-$ が成り立つことを示すことで、非標準的および標準的積分理論を統合する。

ABSTRACT

These lecture notes, to be completed in a later version, offer a short and rigorous introduction to Nostandard Analysis, mainly aimed to reach to a presentation of the basics of Loeb integration, and in particular, Loeb measures. The Abraham Robinson version of Nostandard Analysis is pursued, with a respective incursion into Superstructures. Two formal languages are used, one simpler at first, and then later, one for the full blown theory. A number of detailed comments, not often found in textbooks, accompanies the text.

研究の動機と目的

• 数学的論理に不慣れな数学者向けに、論理的負荷が最小限の非標準解析の導入を提供すること。
• 非主な超フィルターと極大イデアルを用いて、超実数体 $^*\mathbb{R}$ を構成し、$\mathbb{R}$ を含み無限小と無限大の数を含むように保証すること。
• 転送原理を形式化し、標準的および非標準的記述の論理的同値性を可能にすること。
• 非標準的関数の積分を可能にする完全な測度論的拡張としてローブ積分を発展させること。
• $I^\#_{1}f = J^\#f^+ - J^\#f^-$ という厳密な枠組みを通じて、標準的および非標準的解析を統合することにより、一貫性と完全性を保証すること。

提案手法

• 非主な超フィルターを用いて $\mathbb{N}$ 上の超冪として $^*\mathbb{R}$ を構成し、体および順序構造の性質が保たれることを保証する。
• Łośの定理を用いて転送を定義し、超フィルターの極限を用いて $\mathbb{R}$ から $^*\mathbb{R}$ への関係および関数の拡張を行う。
• $I^\#$ が有限である関数の集合 $\mathcal{F}^\#$ を導入し、標準的積分の定義域を形成する。
• $J^\#$ を $h \in \mathcal{F}^\#$ に対する $I^\#(f \wedge h)$ の上界として定義し、非負の可測関数への積分を拡張する。
• $J^\#$ における正の部分および負の部分が両方とも有限である関数の集合 $\mathcal{F}^\#_1$ を構成し、$I^\#_1$ をそれらの部分の差として定義する。
• 単調増加列 $f_n$ が $\mathcal{F}^\#_1$ に属し、$I^\#_1 f_n$ が有界である場合に、$f_n$ が $\mathcal{F}^\#_1$ に収束し、$I^\#_1 f_n$ が収束することを示すことにより、積分構造の完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的論理に強く依存せずに、超フィルターとイデアルを用いて超実数体 $^*\mathbb{R}$ をどのように構成できるか。
• RQ2 関係および関数が $\mathbb{R}$ と $^*\mathbb{R}$ 間で転送原理を満たすために必要な条件は何か。
• RQ3 ローブ構成を用いて、標準的関数への積分を非標準的関数へどのように拡張できるか。
• RQ4 拡張された積分 $I^\#_1$ が標準的積分の極限と一致する条件は何か。
• RQ5 $J^\#$ が非標準的積分の完全な測度論的枠組みを定義する役割を果たす条件は何か。

主な発見

• 超実数体 $^*\mathbb{R}$ は、非主な超フィルターを用いた $\mathbb{R}$ の超冪として構成され、$\mathbb{R}$ を含み、無限小および無限大の要素を含むことが保証される。
• 転送原理はすべての第一階の命題に対して成り立つ。これは、ある命題が $\mathbb{R}$ で真であるための必要十分条件が、その非標準的同値命題が $^*\mathbb{R}$ で真であることであることを意味する。
• ローブ積分構造 $({\cal F}^\#_1, I^\#_1)$ は完全である。すなわち、$f_n \nearrow f$ かつ $I^\#_1 f_n$ が有界であれば、$f \in \mathcal{F}^\#_1$ であり、$I^\#_1 f_n \to I^\#_1 f$ である。
• $f \in \mathcal{F}^\#_1$ に対して、$I^\#_1 f = J^\# f^+ - J^\# f^-$ が成り立つ。ここで $J^\#$ は標準的積分の上界として定義される。
• $\mathcal{M}^\#_1$ は可測関数の集合であり、$\mathcal{F}^\#_1$ を含み、$J^\#$ は $I^\#$ をより広い関数クラスへと拡張し、拡張された実数値積分を定義する。
• $f_n \in \mathcal{F}^\#$ が単調増加列であり、$I^\# f_n$ が有界であれば、$f = \lim f_n$ は $\mathcal{F}^\#$ に属し、$I^\# f = \lim I^\# f_n$ が成り立つ。これは積分構造の完全性を証明する。