[論文レビュー] Shortest Paths in Graphs of Convex Sets

Tobia Marcucci, Jack Umenberger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 44被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、頂点位置が凸集合に制約された連続変数であり、辺の長さがこれらの位置の凸関数であるような凸集合のグラフにおける最短経路問題（SPP in GCS）のための新しい混合整数凸最適化定式化を提案する。この手法は、視覚的緩和を用いて、タイトで軽量なMICPを構築し、大規模で高次元のグラフにおいて効率的なグローバル最適化を可能にし、制御応用において先行研究を著しく上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Given a graph, the shortest-path problem requires finding a sequence of edges with minimum cumulative length that connects a source vertex to a target vertex. We consider a variant of this classical problem in which the position of each vertex in the graph is a continuous decision variable constrained in a convex set, and the length of an edge is a convex function of the position of its endpoints. Problems of this form arise naturally in many areas, from motion planning of autonomous vehicles to optimal control of hybrid systems. The price for such a wide applicability is the complexity of this problem, which is easily seen to be NP-hard. Our main contribution is a strong and lightweight mixed-integer convex formulation based on perspective operators, that makes it possible to efficiently find globally optimal paths in large graphs and in high-dimensional spaces.

研究の動機と目的

• 頂点位置が凸集合に制約された連続変数であり、辺の長さがこれらの位置に対して凸関数として依存するような、NP困難な最短経路問題に対処すること。
• ハイブリッドシステムの運動計画や最適制御に現れるこのクラスの問題に対して、計算効率が高くグローバル最適な解法を構築すること。
• 大規模なグラフや高次元空間へのスケーラビリティを可能にする、強力で軽量な混合整数凸計画（MICP）を設計すること。
• 凸集合の明示的な知識を必要とせず、分離オракルを介してのみアクセス可能な抽象的凸集合に対して直接作用する、集合ベースの凸緩和を考案すること。
• 離散時間ハイブリッド力学系の最適制御において、本フレームワークの有効性を実証し、最先端の手法を上回ること。

提案手法

• 古典的なネットワークフロー定式化を視覚的緩和で拡張することで、SPP in GCSを混合整数凸計画（MICP）として定式化する。
• 視覚的作用素を用いて、連続変数と二値選択変数の積から生じる双線形項のタイトな凸緩和を構築する。
• 明示的な制約を必要とせず、抽象的凸集合に対して直接作用する集合ベースの緩和を導入し、分離オラクルを介してのみアクセス可能なブラックボックス集合にも適用可能にする。
• 二値変数が経路選択を示し、連続変数が経路に沿った頂点位置を表すフローに基づくモデリングアプローチを採用する。
• MICPの凸緩和を実装し、強い双対性を維持するとともに、現代のソルバを用いた効率的なグローバル解法を可能にする。
• 凸集合の構造と凸な辺長関数の性質を活用し、全体の定式化が凸であり、取り扱いやすいまま保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点位置が凸集合に制約された連続変数であるようなグラフにおける最短経路問題を、グローバル最適性を保ちつつ効率的に解くことは可能か？
• RQ2 連続的位置と経路選択変数の積から生じる双線形項を、最適性を保ちつつタイトに緩和する方法は何か？
• RQ3 提案されたMICP定式化は、高次元および大規模なインスタンスにおいて、強い双対性とタイトな緩和をどの程度維持できるか？
• RQ4 この定式化は、既存の手法と比較して計算性能が向上するか、ハイブリッド力学系の最適制御に適用可能か？
• RQ5 グラフの構造的対称性に起因する緩和ギャップはどの程度感度が高く、実際の応用ではそのようなケースを緩和できるか？

主な発見

• 提案されたMICP定式化により、高次元空間（数十次元）および大規模グラフ（数百頂点）においても、凸集合のグラフにおける最短経路のグローバル最適化が可能である。
• MICPの凸緩和は通常非常にタイトであり、テストした最悪ケースでも緩和ギャップはわずか5%にとどまり、極めて特異な対称的ケースを除けば、任意に緩くなることはない。
• 元点から中間ノードへの辺長がすべて0で、ターゲット・中間集合が原点に中心を持つ対称的インスタンスでは、緩和ギャップが100%に達したが、このようなケースは実際にはまれである。
• 本フレームワークは、状態変数と制御変数を凸集合に埋め込み、辺長をエネルギーまたはコストとして表現することで、離散時間ハイブリッド力学系の最適制御問題を効果的にモデル化できた。
• 数値実験の結果、制御応用において、計算時間とスケーラビリティの面で最先端の手法を上回ることを示した。
• 集合ベースの視覚的緩和により、明示的な制約がなく、分離オラクルを介してのみアクセス可能なブラックボックス凸集合に対しても本手法が適用可能であり、複雑または非多面体な集合への適用性が向上した。