[論文レビュー] Sierpinski's triangle and the Prouhet-Thue-Morse word

David Callan|ArXiv.org|Oct 30, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2を法とするパスカルの三角形として可視化されたシエルピンスキーの三角形と、プロウヘ＝トゥー＝モールス語の間の深い代数的関係を確立する。無限下三角行列 S（2を法とするパスカルの三角形を表す）の逆行列が、非ゼロ要素がプロウヘ＝トゥー＝モールス語に従う (−1,0,1) 行列であることを証明する。ここで、$ t(1,-1) = ((-1)^{b(n)})_{n\geq 0} $ は、$ b(n) $ が $ n $ の2進数表記における桁の和である。

ABSTRACT

Sierpinski's triangle is a fractal and the Prouhet-Thue-Morse word is sufficiently chaotic to avoid cubes. Here we observe that there is at least a tenuous connection between them: the Sierpinski triangle is evident in Pascal's triangle mod 2 whose inverse, as an infinite lower-triangular matrix, involves the Prouhet-Thue-Morse word.

研究の動機と目的

• フラクタル的構造を示すシエルピンスキーの三角形と、組合せ的混沌を示すプロウヘ＝トゥー＝モールス語との構造的関係を調査すること。
• 2を法とするパスカルの三角形から導かれる無限下三角行列 S の逆行列を分析すること。
• $ S^{-1} $ の非ゼロ要素のパターンを特定し、それをプロウヘ＝トゥー＝モールス列に関連付けること。
• 行列族 $ S(x) $ に対して関数方程式 $ S(x)S(y) = S(x+y) $ を確立し、構造を一般化すること。
• 有理数 $ r $ に対して $ S^r = S(r) $ が成り立つことを証明し、代数的閉包を用いて行列のべき乗を有理数の指数に拡張すること。

提案手法

• パスカルの三角形を2で割った余りとして得られる無限下三角 (0,1)-行列 $ S $ を定義し、対角成分に1を配置する。
• 行列 $ S(x) $ を導入し、$ i-j $ が $ j $ を含まない（2進加算で繰り上がりがない）場合に $ x^{b(i-j)} $ を要素とする。そうでない場合は0とする。
• クーメルの定理を用いて、2進加算における繰り上がりの有無と二項係数の偶奇を関連付ける。
• インデックス $ i, j, k $ のビットパターンを分析することで、$ S(x)S(y) = S(x+y) $ を証明し、寄与項が $ (x+y)^t $ に合計されることを示す。ここで $ t $ は $ i $ が1で $ j $ が0である桁の数である。
• 数学的帰納法により $ S(x)^q = S(qx) $ を導出し、$ S(p/q)^q = S(p) = S^p $ を用いて有理数の指数に拡張する。これにより $ S^r = S(r) $ を有理数 $ r $ に対して証明する。
• 行列 $ S(-1)S(1) = S(0) = I $ を用いて $ S^{-1} = S(-1) $ を確認し、逆行列がプロウヘ＝トゥー＝モールス語 $ t(1,-1) $ と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタル的構造を示すシエルピンスキーの三角形と、組合せ的混沌を示すプロウヘ＝トゥー＝モールス語との間に構造的関係は存在するか？
• RQ2 2を法とするパスカルの三角形を表す行列 $ S $ の逆行列の代数的形は何か？
• RQ3 $ S^{-1} $ の非ゼロ要素は、プロウヘ＝トゥー＝モールス列とどのように関係しているか？
• RQ4 行列 $ S(x) $ が $ S(x)S(y) = S(x+y) $ を満たすことを示せるか？ これはその代数的構造に何を示唆するか？
• RQ5 有理数 $ r $ に対して行列のべき乗 $ S^r $ が $ S^r = S(r) $ を満たすか？ そしてその証明はどのように行われるか？

主な発見

• 逆行列 $ S^{-1} $ は、非ゼロ要素のパターンが $ S $ と同じである (−1,0,1)-行列であり、構造的対称性を確認する。
• 各列の非ゼロ要素は、$ b(n) $ が $ n $ の2進数表記における桁の和であるとき、プロウヘ＝トゥー＝モールス語 $ t(1,-1) = ((-1)^{b(n)})_{n \geq 0} $ を形成する。
• 行列 $ S(x) $ は $ S(x)S(y) = S(x+y) $ を満たし、これはパrameter $ x $ を連続的に一般化する構造を示す関数方程式である。
• 任意の正の整数 $ q $ に対して $ S(x)^q = S(qx) $ が成り立ち、これは関数方程式と帰納法から導かれる。
• 逆行列は $ S^{-1} = S(-1) $ を満たし、$ S(-1)S(1) = S(0) = I $ を用いて証明され、有理数の指数への拡張が確認される。
• $ S(x) $ の $ 2^k \times 2^k $ 左上部分行列は、行列 $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{pmatrix} $ の $ k $ 回のクロネッカー積に等しく、再帰的構成を与える。