[論文レビュー] Signature SDEs from an affine and polynomial perspective

Christa Cuchiero, Sara Svaluto‐Ferro+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自身のシグネチャの全関数または実解析的関数によって駆動される、経路に依存するイト過程の普遍的クラスとして、シグネチャストキャスティック微分方程式（SDE）を導入する。過程をテンソル代数に持ち上げ、群的要素上でのアフィン的または多項式的過程として示すことにより、リッカティ方程式および線形常微分方程式（ODE）を用いて、フーリエ＝ラプラス変換および全関数の期待値の明示的べき級数展開を導出する。これにより、経路に依存する確率的力学の完全な経路的分布の特徴付けが可能となる。

ABSTRACT

Signature stochastic differential equations (SDEs) constitute a large class of stochastic processes, here driven by Brownian motions, whose characteristics are linear maps of their own signature, i.e. of iterated integrals of the process with itself, and allow therefore for a generic path dependence. We show that their prolongation with the corresponding signature is an affine and polynomial process taking values in the set of group-like elements of the extended tensor algebra. By relying on the duality theory for affine or polynomial processes, we obtain explicit formulas in terms of converging power series for the Fourier-Laplace transform and the expected value of entire functions of the signature process' marginals. The coefficients of these power series are solutions of extended tensor algebra valued Riccati and linear ordinary differential equations (ODEs), respectively, whose vector fields can be expressed in terms of the characteristics of the corresponding SDEs. We thus construct a class of stochastic processes which is universal (in a sense specified in the introduction) within Ito-diffusions with path-dependent characteristics and allows for an explicit characterization of the Fourier-Laplace transform and hence the full law on path space. The practical applicability of this affine and polynomial approach is illustrated by several numerical examples.

研究の動機と目的

• 経路に依存するイト過程の普遍的枠組みを、シグネチャSDEを用いて確立すること。
• このようなSDEのシグネチャ過程が、拡張されたテンソル代数上でのアフィン的または多項式的過程を形成することを示すこと。
• 経路空間上での全関数の期待値およびフーリエ＝ラプラス変換の明示的べき級数表現を導出すること。
• アフィン的および多項式的過程の双対性理論を通じて、経路に依存する過程の分析を統一すること。
• 数値的例および1次元特殊ケースを通じて、実用的妥当性を示すこと。

提案手法

• シグネチャSDEを拡張されたテンソル代数に持ち上げ、過程が群的要素に値をとることを示すこと。
• 双対空間上での生成子条件を確認することにより、延長された過程がアフィン的または多項式的であることを証明すること。
• アフィン的および多項式的過程の双対性理論を用いて、フーリエ＝ラプラス変換の明示的公式（べき級数として）を導出すること。
• べき級数の係数が、アフィンの場合には拡張されたリッカティODE、多項式の場合には線形ODEを満たすことを示すこと。
• これらのODEのベクトル場を、元のシグネチャSDEの全的特徴量を用いて表現すること。
• 実解析的特徴量を有する1次元SDEにこの枠組みを適用し、古典的結果が特殊ケースとして回復されることを示すこと。

Figure 1: ${\mathbb{E}}[\exp(-\exp(X_{t}))]$ computed with Scheme 6.3 for $K=20$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シグネチャSDEは、シグネチャの延長によってアフィン的または多項式的過程のクラスに埋め込むことができるか？
• RQ2 シグネチャ過程のフーリエ＝ラプラス変換に対して、どのような明示的公式が存在するか？
• RQ3 このような過程における経路空間上での全関数の期待値は、どのように特徴付けられるか？
• RQ4 アフィン的および多項式的ケースにおけるべき級数展開の係数を支配するODE系は何か？
• RQ5 この枠組みは、1次元で実解析的特徴量を持つ場合に、古典的結果をどのように回復するか？

主な発見

• シグネチャSDEのシグネチャ過程は、拡張されたテンソル代数上にあり、群的要素に値をとるアフィン的または多項式的過程である。
• フーリエ＝ラプラス変換は、SDEの特徴量から導かれるリッカティODEの解を係数とする明示的べき級数展開を有する。
• 多項式的ケースでは、経路空間上での全関数の期待値は、線形ODEを解く係数を持つべき級数として特徴付けられる。
• この枠組みは、1次元の場合にシグネチャSDEが実解析的係数を有する古典的SDEに還元されることから、古典的結果を回復する。
• 数値的例は、アプローチの実用的妥当性を確認しており、1次元ブラウン運動のリッカティODEの解法を含む。
• 双対性理論により、これらの明示的級数表現を通じて、経路空間上での分布の完全な特徴付けが可能となる。

Figure 2: ${\mathbb{E}}[\exp(-X_{t}^{4}/4!)]$ computed with Scheme 6.3 for different $K$ s. The approximations ${\mathbb{E}}[\exp(-X_{t}^{4}/4!)]$ of are just represented until their explosion time.