[論文レビュー] Signed graph embedding: when everybody can sit closer to friends than enemies

Anne-Marie Kermarrec, Christopher Thraves|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、各頂点がその正の（友人）隣接頂点よりも負の（敵対者）隣接頂点よりもユークリッド空間内で近い位置に配置される、新しい符号付きグラフ埋め込みモデルを提案する。完全符号付きグラフに対しては、有効な1次元埋め込みが存在するための必要十分条件として、正部分グラフが弦的（chordal）であることであることを証明し、そのような埋め込みを決定および構築するO(n²)のアルゴリズムを提供する。これは従来のバランス性やクラスタビリティの仮定を越えるものである。

ABSTRACT

Signed graphs are graphs with signed edges. They are commonly used to represent positive and negative relationships in social networks. While balance theory and clusterizable graphs deal with signed graphs to represent social interactions, recent empirical studies have proved that they fail to reflect some current practices in real social networks. In this paper we address the issue of drawing signed graphs and capturing such social interactions. We relax the previous assumptions to define a drawing as a model in which every vertex has to be placed closer to its neighbors connected via a positive edge than its neighbors connected via a negative edge in the resulting space. Based on this definition, we address the problem of deciding whether a given signed graph has a drawing in a given $\ell$-dimensional Euclidean space. We present forbidden patterns for signed graphs that admit the introduced definition of drawing in the Euclidean plane and line. We then focus on the $1$-dimensional case, where we provide a polynomial time algorithm that decides if a given complete signed graph has a drawing, and constructs it when applicable.

研究の動機と目的

• すべての三頂点組がバランスでない現実の社会的ネットワークをモデル化する際の、従来のバランス性やクラスタビリティの制限を克服すること。
• 友人と敵の相対的な近接性に基づいて、符号付きグラフの有効な図形的描画を形式化すること。
• 各頂点がその正の隣接頂点よりも負の隣接頂点に近くなるように、1次元ユークリッド空間に符号付きグラフを埋め込む条件を特定すること。
• 完全符号付きグラフに対して、このような埋め込みを決定および構築する効率的なアルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 有効な描画を、各頂点がその正の隣接頂点よりも負の隣接頂点に近いユークリッド空間への配置と定義する。
• 問題を、正部分グラフが弦的であり、2つの構造的条件を満たす完全な消去順序を有するかどうかのチェックに還元する。
• 正部分グラフの連結成分からの完全な消去順序の連結を用いて、グローバルな頂点順序を構築する。
• 頂点順序に基づく構成的埋め込み法を用いて、1次元空間における位置を割り当てる。
• 弦的性のテストおよび完全な消去順序の計算に既知の線形時間アルゴリズムを用いる。
• 条件(i)および(ii)を満たすようなそのような順序の存在が、有効な1次元埋め込みの必要十分条件であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的バランスやクラスタビリティを越えて、現実の社会的ネットワークダイナミクスをよりよく反映する、符号付きグラフのより柔軟な埋め込みモデルを定義できるか？
• RQ2 完全符号付きグラフが、友人が敵よりも近くなるような有効な1次元埋め込みを許容するための必要十分条件は何か？
• RQ3 このような埋め込みの決定問題は多項式時間で解けるか？ もしそうなら、計算量の複雑さは何か？
• RQ4 符号付きグラフにおける禁止パターンは、1次元ユークリッド空間におけるメトリック埋め込み制約とどのように関係するか？
• RQ5 この埋め込みモデルを非完全グラフや非ユークリッド距離空間へ一般化できるか？

主な発見

• 完全符号付きグラフが有効な1次元埋め込みを許容するための必要十分条件は、その正部分グラフが弦的であり、2つの構造的条件を満たす完全な消去順序を有することである。
• そのような順序の存在により、結果の1次元レイアウトにおいて、すべての頂点がその正の隣接頂点よりも負の隣接頂点に近くなることが保証される。
• このような埋め込みの決定および構築はO(n²)時間で行えるため、完全符号付きグラフに対しては問題が扱いやすい。
• 本論文は、古典的なバランス理論の禁止三角形を越えて、有効な1次元描画を不可能にする符号付きグラフにおける禁止パターンを同定した。
• 任意の符号付きグラフ（完全でない場合を含む）に対する一般の決定問題は、後にサイガンらによってNP完全であると証明されたため、完全性の仮定の重要性が浮き彫りになった。
• 提案されたモデルは、バランス性やクラスタビリティの厳密な要件を緩和し、ネットワーク埋め込みにおける社会的相互作用のより現実的な表現を提供する。