[論文レビュー] Simple homotopy type of Novikov Complex for closed 1-forms and Lefschetz $\zeta$-functions of the gradient flow

Andrey Vladimirovich Pajitnov|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多様体上の閉1次形式に関連する巡回被覆の完成化された鎖複体とノビコフ複体の間のホモトピー同値を確立し、この同値の torsion が勾配流れのリーマン・ゼータ関数に等しいことを示している。C^0-一般の勾配類ベクトル場に対して、ノビコフ複体とゼータ関数の両方が有理関数の環上に定義され、力学的ゼータ関数とモース理論的不変量の深い関係を示している。

ABSTRACT

Let f be a Morse map from a closed manifold to a circle. S.P.Novikov constructed an analog of the Morse complex for f. The Novikov complex is a chain complex defined over the ring of Laurent power series with integral coefficients and finite negative part. This complex depends on the choice of a gradient-like vector field. The homotopy type of the Novikov complex is the same as the homotopy type of the completed complex of the simplicial chains of the cyclic covering associated to f. In the present paper we prove that for every C^0-generic f-gradient there is a homotopy equivalence between these two chain complexes, such that its torsion equals to the Lefschetz zeta-function of the gradient flow. For these gradients the Novikov complex is defined over the ring of rational functions and the Lefschetz zeta-function is also rational. The paper contains also a survey of Morse-Novikov theory and of the previous results of the author on the C^0-generic properties of the Novikov complex.

研究の動機と目的

• 閉1次形式に対して、ノビコフ複体とその巡回被覆の完成化された鎖複体の間のホモトピー同値を確立すること。
• この同値の torsion が勾配流れのリーマン・ゼータ関数に等しいことを示すこと。
• C^0-一般の勾配に対して、ノビコフ複体とリーマン・ゼータ関数の両方が有理関数の環上に定義されることを示すこと。
• モース＝ノビコフ理論およびノビコフ複体の C^0-一般性に関する先行研究を概説すること。

提案手法

• 整数係数で、負の部分が有限なローレンツ形式のべき級数の環上の鎖複体としてノビコフ複体を構成すること。
• 勾配類ベクトル場を用いてノビコフ複体を定義し、それが巡回被覆の完成化された単体的鎖複体のホモトピー型と一致することを保証すること。
• C^0-一般の勾配に対して、ノビコフ複体と完成化された鎖複体の間のホモトピー同値の存在を証明すること。
• このホモトピー同値の torsion を計算し、勾配流れのリーマン・ゼータ関数と同定すること。
• C^0-一般性のもとで、ノビコフ複体とゼータ関数がともに有理関数の環上にあることを示すこと。
• C^0-一般性を活用して、勾配流れおよび関連鎖複体における横断性と構造的安定性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^0-一般の勾配類ベクトル場に対して、ノビコフ複体と巡回被覆の完成化された鎖複体の間のホモトピー同値が存在するか？
• RQ2 このホモトピー同値の torsion は何か？ そして勾配流れのリーマン・ゼータ関数とどのように関係するか？
• RQ3 C^0-一般性のもとで、ノビコフ複体とリーマン・ゼータ関数を同時に有理関数の環上に定義できるか？
• RQ4 勾配場の C^0-一般性がノビコフ複体の構造と不変性に与える影響は何か？
• RQ5 閉1次形式の文脈において、力学的不変量（ゼータ関数）とモース理論的不変量（ノビコフ複体）の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の C^0-一般の勾配類ベクトル場に対して、ノビコフ複体と巡回被覆の完成化された鎖複体の間のホモトピー同値が存在する。
• このホモトピー同値の torsion は、勾長流れのリーマン・ゼータ関数に等しい。
• C^0-一般性のもとで、ノビコフ複体は有理関数の環上に定義される。
• 同じ C^0-一般条件のもとで、リーマン・ゼータ関数に対しても有理関数として定義可能である。
• ノビコフ複体とリーマン・ゼータ関数の両方が有理関数の環上に定義されることから、強い代数的整合性が示された。
• 本稿は、ノビコフ設定における力学的ゼータ関数とモース理論的不変量の間の明確な代数的・位相的対応を確立した。