[論文レビュー] Simple pendulum dynamics: revisiting the Fourier-based approach to the solution

Riccardo Borghi|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Control and Stability of Dynamical Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、楕円関数を避ける代わりにベッセル関数を用いた反復的アプローチを導入することで、非線形力学的挙動をもつ単振り子のフーリエ解法を再考する。この方法により、周期は「besinc」関数を用いて記述され、π/2までの振幅で0.2%未満の誤差で正確に近似可能であり、よりアクセスしやすい代替手法が提供される。

ABSTRACT

The Fourier-based analysis customarily employed to analyze the dynamics of a simple pendulum is here revisited to propose an elementary iterative scheme aimed at generating a sequence of analytical approximants of the exact law of motion. Each approximant is expressed by a Fourier sum whose coefficients are given by suitable linear combinations of Bessel functions, which are expected to be more accessible, especially at an undergraduate level, with respect to Jacobian elliptic functions. The first three approximants are explicitely obtained and compared with the exact solution for typical initial angular positions of the pendulum. In particular, it is shown that, at the lowest approximation level, the law of motion of the pendulum turns out to be adequately described, up to oscillation amplitudes of $π/2$, by a sinusoidal temporal behaviour with a frequency proportional to the square root of the so-called "besinc" function, well known in physical optics.

研究の動機と目的

• ジャコビの楕円関数に依存しない、よりアクセスしやすい単振り子の非線形力学的挙動に対する解析的アプローチを開発すること。
• ベッセル関数を用いて、より大学教養レベルで理解しやすいフーリエベースの解法を再構築すること。
• 振り子の運動および周期のより高次の解析的近似を生成する反復的スキームを提供すること。
• 最低次の近似が、振幅π/2まで正確に振り子の挙動を記述できることを示すこと。
• 物理の異なる分野にまたがる数学的統一性を強調し、物理的光学で知られるbesinc関数と振り子力学を結びつけること。

提案手法

• 振り子の角位置を基本周波数ωの奇数高調波の和として表す反復的フーリエ級数展開を用いる。
• 前人研究で用いられた多項式近似に代わり、第一種ベッセル関数を含む直交展開を通じてフーリエ係数を導出する。
• 各反復段階で、現在の近似解を非線形微分方程式に代入し、フーリエ解析により係数を一致させる。
• 初期条件を満たし、得られた級数を運動方程式に一致させるために、周波数ωを自己無撞着的に決定する。
• DLMFの公式10.12.2および10.12.3に示されるベッセル関数の既知の積分表現を用い、sin(ϑ(t))のフーリエ係数をベッセル関数で表現する。
• 反復的にこの手続きを適用することで、順次高次の近似解が得られ、最初の3つの近似解を明示的に導出し、正確な解と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベッセル関数を用いたフーリエベースの反復的アプローチは、単振り子の非線形方程式を解く際、楕円関数に代わるよりアクセスしやすい代替手段を提供できるか？
• RQ2 最低次のフーリエ近似が、特に大きな振幅において振り子の運動および周期をどの程度正確に記述できるか？
• RQ3 振幅がπ/2までに達する範囲で、ベッセル関数に基づく係数は正確な解とどの程度定量的に一致するか？
• RQ4 物理的光学でよく知られるbesinc関数と振り子力学との関連を活用することで、教育的理解を深められるか？
• RQ5 反復的ベッセル関数に基づく近似解は、振り子の周期および角位置をどの程度の精度で予測できるか？

主な発見

• 最初の3つの近似解がベッセル関数を用いて明示的に導出され、振り子の運動を順次より正確に表現する。
• 最低次の近似レベルでは、振り子の運動は、besinc関数の平方根に比例する周波数を持つ正弦関数としてよく記述される。
• 振幅がπ/2までの範囲で、周期の予測誤差は0.2%未満、角位置の誤差は0.1%未満で達成される。
• ジャコビの楕円関数を避け、代わりに大学教養レベルでより理解しやすいベッセル関数を用いる。
• 物理的光学でよく知られるbesinc関数との関連により、異なる物理現象にまたがる数学的統一性が明確になる。
• 反復スキームは体系的であり、自己無撞着な係数更新により、任意の高精度にまで拡張可能である。