[論文レビュー] Simple simulation of diffusion bridges with application to likelihood inference for diffusions

Mogens Bladt, Michael Sørensen|Mar 7, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、時間反転過程と再検出サンプリングを用いて、1次元の拡散過程における近似および正確な拡散ブリッジを単純かつ効率的にシミュレートする手法を提案する。ミルシュタインスキームとメトロポリス・ハスティングス補正を活用することで、区間長に対して線形の計算量を達成し、従来の手法よりも長時間区間において優れた性能を示す。これにより、離散的に観測された拡散過程における実用的な尤度推定およびベイズ推論が可能になる。

ABSTRACT

With a view to statistical inference for discretely observed diffusion models, we propose simple methods of simulating diffusion bridges, approximately and exactly. Diffusion bridge simulation plays a fundamental role in likelihood and Bayesian inference for diffusion processes. First a simple method of simulating approximate diffusion bridges is proposed and studied. Then these approximate bridges are used as proposal for an easily implemented Metropolis-Hastings algorithm that produces exact diffusion bridges. The new method utilizes time-reversibility properties of one-dimensional diffusions and is applicable to all one-dimensional diffusion processes with finite speed-measure. One advantage of the new approach is that simple simulation methods like the Milstein scheme can be applied to bridge simulation. Another advantage over previous bridge simulation methods is that the proposed method works well for diffusion bridges in long intervals because the computational complexity of the method is linear in the length of the interval. For $ρ$-mixing diffusions the approximate method is shown to be particularly accurate for long time intervals. In a simulation study, we investigate the accuracy and efficiency of the approximate method and compare it to exact simulation methods. In the study, our method provides a very good approximation to the distribution of a diffusion bridge for bridges that are likely to occur in applications to statistical inference. To illustrate the usefulness of the new method, we present an EM-algorithm for a discretely observed diffusion process.

研究の動機と目的

• 有限のスピード測度を持つすべての1次元拡散過程に適用可能な、単純で汎用的な拡散ブリッジのシミュレーション手法の開発。
• 標準の再検出サンプリングが拡散ブリッジにおいて計算的に不実行となる問題を解決するため、点を標的とするのではなく経路を標的とする手法に置き換える。
• 正確でスケーラブルなブリッジシミュレーションを通じて、離散的に観測された拡散過程における効率的な尤度推定およびベイズ推論を可能にする。
• 従来の手法が実用的でなくなる長時間区間においても、本手法が高い正確性を維持することを示す。
• 複雑な変換を必要とせず、標準的な数値スキーム（例：ミルシュタイン法）と組み合わせて使用可能な、実装が容易な実用的アルゴリズムの提供。

提案手法

• 本手法は、開始点 a から出発する拡散過程と、終了点 b から出発する拡散過程（後者を時間反転）を独立にシミュレートすることで、近似ブリッジを構築する。
• このプロセスは、2つのシミュレートされた経路が交差するまでの最初の経路として定義され、交差点が近似ブリッジ経路を定義する。
• 再検出サンプラーは、このペアを繰り返し生成し、経路が交差するまで繰り返すことで、有効な近似ブリッジシミュレーションを達成する。
• この近似ブリッジを、メトロポリス・ハスティングス法における提案分布として用い、擬似周辺尤度補正により正確な拡散ブリッジサンプリングを実現する。
• 受容確率は、独立な拡散過程が提案されたブリッジ経路と交差するかどうかをチェックすることで計算され、これによりターゲット分布が正確なブリッジとなることが保証される。
• 本手法は、有限のスピード測度を持つすべての1次元拡散過程に適用可能であり、拡散係数を単位に変換する必要がない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な測度変換や変換を必要とせず、汎用的な手法で拡散ブリッジをシミュレートすることは可能か？
• RQ2 提案手法の計算量は、拡散ブリッジシミュレーションにおける時間区間の長さにどのように依存するか？
• RQ3 近似ブリッジ手法が、実用的な推論状況において真のブリッジ分布をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 本手法は、離散的に観測された拡散過程における尤度に基づく推論に効果的に使用可能か？
• RQ5 特に長時間区間において、既存の正確なシミュレーションアルゴリズムと比較して、本手法はどの程度効率的かつ正確か？

主な発見

• 近似ブリッジシミュレーション手法は、統計的推論において現れる可能性の高いブリッジにおいて高い正確性を達成し、正確なシミュレーション結果と密接に一致する。
• 定常拡散過程に対して、近似版および正確版の両方の計算量が区間長に対して線形に増加するため、長時間設定でも効率的に使用可能である。
• 短時間区間では、近似手法は正確アルゴリズム（EA1）と同等の計算コストであるが、長時間区間では顕著に高速である。
• 本手法は、拡散係数を単位に変換する必要がなく、ミルシュタインスキームのような単純な数値スキームと組み合わせて使用可能であり、実装を簡素化する。
• シミュレーションスタディにおいて、本手法を用いたEMアルゴリズムは良好に収束し、オーナイシュタイン＝ホルンおよびCIR過程における推論の実用的有用性を示している。
• 再検出サンプラーにおける失敗確率は、点ではなく経路を標的としているため、従来手法の主な限界を克服し、実用的な範囲内に保たれる。