[論文レビュー] Simulating bridges using confluent diffusions

Paul A. Jenkins, Murray Pollock+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、収束型拡散過程を用いて、定常的拡散過程のブリッジを正確に、線形時間でシミュレートするためのマルコフ連鎖モンテカルロ法を提案する。ε-strongシミュレーションによるブラウン運動、パス空間におけるリジェクトサンプリング、および単純な拡散ブリッジ法を組み合わせることで、ブリッジ期間に比例する計算コストで不偏サンプリングを実現し、軌道の極値に関する境界を提供する。この手法は、長期間の設定において既存手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Diffusions are a fundamental class of models in many fields, including finance, engineering, and biology. Simulating diffusions is challenging as their sample paths are infinite-dimensional and their transition functions are typically intractable. In statistical settings such as parameter inference for discretely observed diffusions, we require simulation techniques for diffusions conditioned on hitting a given endpoint, which introduces further complication. In this paper we introduce a Markov chain Monte Carlo algorithm for simulating bridges of ergodic diffusions which (i) is exact in the sense that there is no discretisation error, (ii) has computational cost that is linear in the duration of the bridges, and (iii) provides bounds on local maxima and minima of the simulated trajectory. Our approach works directly on diffusion path space, by constructing a proposal (which we term a confluence) that is then corrected with an accept/reject step in a pseudo-marginal algorithm. Our method requires only the simulation of unconditioned diffusion sample paths. We apply our approach to the simulation of Langevin diffusion bridges, a practical problem arising naturally in many situations, such as statistical inference in distributed settings.

研究の動機と目的

• 時間離散化に基づく手法に内在する離散化誤差を回避する、拡散ブリッジの正確なシミュレーション手法の開発。
• ブリッジ期間に比例する線形スケーリングを維持する計算効率の確保。これに対して、指数的コスト増加を示す手法とは対照的である。
• シミュレートされた軌道の局所的最大値および最小値に対するほとんど確実な境界の提供。これにより、パス依存量の正確な計算が可能になる。
• とくに、離れた終点を有する場合に、既存手法が性能を低下させる長期間ブリッジの効率的シミュレーションの実現。
• 複数のデータソースを統合して一貫性のあるベイズモデルを構築する分散推論を支援するため、効率的なブリッジサンプリングの実現。

提案手法

• 本手法は、初期点から出発する無条件拡散過程と終点から出発する無条件拡散過程の2つをシミュレートし、ランダムな交差時刻で接続することで、提案パス（「コンフルエンス」と呼ばれる）を構築する。
• コンフルエンスパスは、パス空間におけるリジェクトサンプリングに基づく受容/拒否ステップを有する疑似周辺MCMCアルゴリズムの提案分布として用いられる。
• 本アルゴリズムは、ブラウン運動のε-strongシミュレーションに依存しており、極値に関するほとんど確実な境界を有する正確なパスを生成する。
• Bladt & Sørensenが提唱した単純な拡散ブリッジ法を統合し、無条件拡散シミュレーションのみを用いることで、線形時間の計算スケーリングを維持する。
• リジェクトステップにより、提案分布をターゲットのブリッジ測度に正確に一致させ、離散化誤差が一切生じない。
• 本手法は、時間における近似を回避するため、連続パス上で直接作用するパス空間リジェクトサンプラーを用いて実装される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブリッジ期間に比例する線形計算コストを維持しつつ、離散化誤差のない正確な拡散ブリッジシミュレーション手法を構築可能か？
• RQ2 コンフルエンスに基づく提案分布とパス空間リジェクトサンプリングを組み合わせることで、正確性と効率性を両立できるか？
• RQ3 近似を導入することなく、シミュレートされた軌道の局所的最大値および最小値に対するほとんど確実な境界を提供可能か？
• RQ4 既存手法とは対照的に、ブリッジ長が延びるに従い、コンフルエンス提案の性能が向上するか？
• RQ5 本フレームワークを多変数またはジャンプ付き拡散ブリッジに拡張可能か？ その際、正確性と線形スケーリングを維持できるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、離散化誤差のないターゲットの拡散ブリッジ測度からの正確なサンプリングを実現し、統計的妥当性を保証する。
• 数値的実験により、計算コストがブリッジ期間に比例して線形に増加することが実証された。
• 300単位の時間にわたるランジュバン拡散ブリッジのシミュレーションにおいて、受容率が97％を超えた。これは、提案分布とターゲット分布の一致度が極めて高いことを示している。
• 本手法は、シミュレートされた軌道の局所的最大値および最小値に対するほとんど確実な境界を提供し、バリアオプション価格などのパス依存関数の正確な計算を可能にする。
• コンフルエンス提案は、ブリッジ期間が長くなるほどより効果的になる。これは、Tが増加するに従い性能が低下する既存手法とは対照的である。
• 本手法は、複数のデータソースを統合する分散ベイズ推論に適しており、一貫性のあるモデルを構築する支援が可能である。