[論文レビュー] Simulating the Generalized Gibbs Ensemble (GGE): a Hilbert space Monte Carlo approach

Vincenzo Alba|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Quantum many-body systems被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、可積分量子スピンチェーンにおける切断一般化ギブス集合（TGGE）をシミュレートするためのヒルバート空間モンテカルロ法を提案する。この手法は、ベーテアンザッツ状態とGGE確率測度に基づく重要度サンプリングを用い、熱力学的極限における物理量の高精度な計算と、ベーテ＝ゴードン＝タカハシ（BGT）根分布の直接抽出を可能にする。有限サイズ効果は指数関数的に減少し、結果は熱力学的ベーテアンザッツ（TBA）および量子転送行列（QTM）のベンチマークと一致する。

ABSTRACT

By combining classical Monte Carlo and Bethe ansatz techniques we devise a numerical method to construct the Truncated Generalized Gibbs Ensemble (TGGE) for the spin-1/2 isotropic Heisenberg ($XXX$) chain. The key idea is to sample the Hilbert space of the model with the appropriate GGE probability measure. The method can be extended to other integrable systems, such as the Lieb-Liniger model. We benchmark the approach focusing on GGE expectation values of several local observables. As finite-size effects decay exponentially with system size, moderately large chains are sufficient to extract thermodynamic quantities. The Monte Carlo results are in agreement with both the Thermodynamic Bethe Ansatz (TBA) and the Quantum Transfer Matrix approach (QTM). Remarkably, it is possible to extract in a simple way the steady-state Bethe-Gaudin-Takahashi (BGT) roots distributions, which encode complete information about the GGE expectation values in the thermodynamic limit. Finally, it is straightforward to simulate extensions of the GGE, in which, besides the local integral of motion (local charges), one includes arbitrary functions of the BGT roots. As an example, we include in the GGE the first non-trivial quasi-local integral of motion.

研究の動機と目的

• 有限サイズの可積分量子多体系における切断一般化ギブス集合（TGGE）をシミュレートするための数値的手法を開発すること。
• 熱力学的極限における局所物理量のGGE期待値を高精度に計算可能とすること。
• モンテカルロサンプリングから直接、GGEの全情報を含む定常状態のベーテ＝ゴードン＝タカハシ（BGT）根分布を抽出すること。
• この手法を準局所的保存量およびBGT根の任意関数をGGEに含めるように拡張すること。
• 熱力学的ベーテアンザッツ（TBA）および量子転送行列（QTM）といった既存手法と比較してベンチマークすること。

提案手法

• 局所的および準局所的保存量から構成されるGGE確率測度を用いて、ヒルバート空間上で重要度サンプリングを実行する。
• 多体スペクトルの正確な表現が可能なベーテ＝ゴードン＝タカハシ（BGT）方程式により固有状態を生成する。
• サンプリングは、GGEハミルトニアンの指数関数に基づく重みを割り当てることで実行され、ラグランジュ乗数は初期状態の期待値によって固定される。
• 代表状態 ρ^sp は、サンプルされた根分布の鞍点極限として得られ、真の熱力学的分布に収束する。
• 有限サイズスケーリングを適用して熱力学的極限に到達し、有限サイズ補正が指数関数的に減少することが観察された。
• BGT根の任意関数（例：1番目の非自明な準局所的保存量）を含めるように手法を一般化した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間上のモンテカルロサンプリングを用いて、有限サイズの可積分系における切断一般化ギブス集合（TGGE）を効率的にシミュレートできるか？
• RQ2 XXXスピンチェーンにおいて、GGE期待値の有限サイズ効果は系サイズに従ってどの程度減少するか？
• RQ3 モンテカルロサンプリングから直接、定常状態のベーテ＝ゴードン＝タカハシ（BGT）根分布を抽出でき、熱力学的極限に収束するか？
• RQ4 本手法は、熱力学的ベーテアンザッツ（TBA）および量子転送行列（QTM）手法から得られた既知の結果をどの程度正確に再現するか？
• RQ5 本手法は、準局所的保存量およびBGT根の任意関数をGGEに含めるように拡張可能か？

主な発見

• GGE期待値における有限サイズ補正は、系サイズに従って指数関数的に減少し、中程度のサイズのスピンチェーン（例：L=30）ですでに熱力学的極限への外挿が高精度で可能となる。
• エネルギー、スピン磁化率、高次保存量を含む局所物理量について、モンテカルロ結果はTBAおよびQTMベンチマークと良好に一致する。
• 本手法は定常状態のBGT根分布を効果的に抽出でき、系サイズを大きくするに従い、数値的ヒストグラムが解析的TBA結果に収束することが確認された。
• 無限温度ギブス集合の場合、根分布の尾部は ∼1/x⁴ のスケーリングを示し、解析的予測と整合的である。
• 1番目の非自明な準局所的保存量をGGEに含めると、小刻みなxにおけるρ₁(x)分布に二重ピーク構造が現れ、非自明な相関が存在することを示唆する。
• 1つのCPUコアを用いて30サイトのスピンチェーンをシミュレートするのに約2日を要したが、これは標準的なハードウェアでも実行可能であることを示している。