[論文レビュー] Simulation of Stochastic Volatility using Path Integration: Smiles and Frowns

Belal E. Baaquie, L. C. Kwek+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2000

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化されたメルトン・ガーマンモデルを用いて、確率的ボラティリティ下でのオプションプライシングをシミュレートするために経路積分技法を適用する。市場データが特定のパラメータクラスを好むことが示され、その場合に二分法による計算が効率的に行えるようになる。これにより、市場の異常を特徴付ける「スマイル」と「フロウン」の形状を示すインプライドボラティリティ曲線が得られる。

ABSTRACT

We apply path integration techniques to obtain option pricing with stochastic volatility using a generalized Black-Scholes equation known as the Merton and Garman equation. We numerically simulate the option prices using the technique of path integration. Using market data, we determine the parameters of the model. It is found that the market chooses a special class of models for which a more efficient algorithm, called the bisection method, is applicable. Using our simulated data, we generate some implied volatility curves. We also analyze and study in detail some of the characteristics of the volatility curves within the model.

研究の動機と目的

• 確率的ボラティリティ下でのオプションプライシングのための経路積分に基づく数値的手法を開発すること。
• 実市場データへのモデルのキャリブレーションを行い、好まれるパrameter領域を同定すること。
• シミュレートされたデータからインプライドボラティリティ曲線（スマイルとフロウン）を生成・分析すること。
• 経路積分フレームワーク内での、二分法のような効率的な数値アルゴリズムの実現可能性を検討すること。
• 量子にインspiredな技術を活用することで、オプションプライシングに新たな計算的視点を提供すること。

提案手法

• 研究では、一般化されたメルトン・ガーマン確率的ボラティリティ方程式を解くためにファインマンの経路積分形式を用いる。
• 離散化された時間経路を用いて、移行振幅を資産価格およびボラティリティ経路におけるガウス積分の積として表現する。
• 変数変換を介して経路積分を変換し、価格とボラティリティのダイナミクスを分離することで、中間の価格変数についての正確な統合が可能になる。
• 得られた移行振幅の式は、ボラティリティ経路における関数的積分として記述され、ボラティリティの累乗の時間積分を含む有効作用が関与する。
• モンテカルロ手法を用いて経路積分を数値的にシミュレートし、統合ボラティリティとそのモーメントの同時分布を介してオプション価格を計算することに焦点を当てる。
• 市場キャリブレーションから同定された特別なパラメータクラスに対しては、完全な経路統合よりも効率的な代替手段として二分法が適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路積分技法は、確率的ボラティリティモデル下でのオプションプライシングを効果的にシミュレートできるか？
• RQ2 実市場データが好む、確率的ボラティリティモデルのどのパラメータ領域が存在するか？
• RQ3 得られたインプライドボラティリティ曲線の挙動はどのように変化するか？また、市場で観察される「スマイル」や「フロウン」のパターンを再現できるか？
• RQ4 特定のパラメータセットに対して、完全な経路統合の代替として計算が効率的な手法は存在するか？
• RQ5 経路積分形式は、確率的ボラティリティがもたらす非線形性について、新たな洞察を提供できるか？

主な発見

• 市場データへのキャリブレーションにより、二分法が適用可能となる特別なモデルパラメータクラスが同定され、計算の効率が著しく向上する。
• 経路積分形式は、実証的市場観測と整合的な「スマイル」と「フロウン」の形状を示すインプライドボラティリティ曲線を効果的に生成した。
• モデルの有効作用には、ボラティリティの累乗の時間積分が関与し、主な量として ω = ∫₀ᵀ V dt、θ = ∫₀ᵀ V¹/²⁻ᵃ dt、η = ∫₀ᵀ V³/²⁻ᵃ dt、ζ = ∫₀ᵀ Vᵃ⁻¹/² dt が定義される。
• 移行振幅は、ボラティリティ経路における関数的積分として記述され、S₀ + S₁ の形の修正された作用が関与する。ここで S₁ は統合ボラティリティとそのモーメントに依存する。
• 離散時間経路積分形式（式 90）は、完全な経路統合を伴わずにオプション価格を計算するための安定的かつ数値的に取り扱いやすい出発点を提供する。
• 本研究は、経路統合が非摂動的かつグローバルなアプローチを提供することを確認した。このアプローチは、モデルに内在する非線形性を適切に扱える。