[論文レビュー] Singular hermitian metrics on holomorphic vector bundles

Hossein Raufi|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、正則ベクトル束上の特異ヘルミート計量を導入し、それらの計量におけるグリフィスズおよびナカノ曲率を定義し、曲率の収束を制御する滑らかな計量による正則化が可能であることを証明している。主な貢献は、正則化における曲率の電流としての弱収束を確立したことであり、これにより、局所的に可積分でない曲率を持つ場合でも、複素幾何学における解析的手法を適用可能にする。

ABSTRACT

We introduce and study a notion of singular hermitian metrics on holomorphic vector bundles, following Berndtsson and P{ă}un. We define what it means for such a metric to be curved in the sense of Griffiths and investigate the assumptions needed in order to locally define the cuvature $Θ^h$ as a matrix of currents. We then proceed to show that such metrics can be regularised in such a way that the corresponding curvature tensors converge weakly to $Θ^h$. Finally we define what it means for $h$ to be strictly negatively curved in the sense of Nakano and show that it is possible to regularise such metrics with a sequence of smooth, strictly Nakano negative metrics.

研究の動機と目的

• 正則ベクトル束上の特異ヘルミート計量を定義・分析し、特にグリフィスズおよびナカノの意味での曲率に関して考察すること。
• 特異計量 $Θ^h$ の曲率が、測度係数付き電流として意味的に定義可能となる条件を特定すること。
• 対応する曲率テンソルが元の特異計量の曲率に弱収束するように、滑らかな計量の正則化列を構成すること。
• ナカノの意味で厳密に負の曲率を持つ計量に対しても、正則化結果を拡張し、厳密にナカノ負の滑らかな計量への収束を示すこと。

提案手法

• 基底からファイバー上の非負定ヘルミート形式への可測写像として特異ヘルミート計量を定義し、追加の曲率条件を課える。
• 正則切断 $u$ に対する $∥u∥_h^2$ の擬上への超調和性によりグリフィスズ負性を定義し、$(n-1,n-1)$-形式 $T_u^h$ の擬上への超調和性によりナカノ負性を定義する。
• 近似恒等元 $\chi_\nu$ との畳み込みを用いて、特異計量の正則化列 $h_\nu = h * \chi_\nu$ を構成する。
• グリフィスズ負性を持つ計量に対して、曲率電流 $\Theta^{h\nu}$ が測度係数付き電流の意味で $\Theta^h$ に弱収束することを証明する。
• 厳密にナカノ負の計量に対しては、正則化列 $h_\nu$ を厳密にナカノ負に選び、元の曲率に弱収束することを確立する。
• 分布的不等式 $i\partial\bar{\partial}T_u^{h_\nu}$ を用い、双対性および近似論的議論を通じて曲率と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異ヘルミート計量 $h$ の曲率 $\Theta^h$ が測度係数付き電流として定義可能となる条件は何か？
• RQ2 グリフィスズの意味で負に曲率を持つ特異ヘルミート計量に対して、近似計量の曲率が元の計量の曲率に弱収束するように正則化することは可能か？
• RQ3 ナカノの意味で厳密に負に曲率を持つ特異計量は、それ自身も厳密にナカノ負である滑らかな計量により近似可能か？
• RQ4 ベクトル束上の特異ヘルミート計量の正則性および曲率挙動において、行列式 $\det h$ が果たす役割は何か？
• RQ5 計量が局所的に可積分でない場合、畳み込みによる正則化における曲率電流の挙動はいかなるものか？

主な発見

• グリフィスズ負の特異計量 $h$ に対して、接続行列 $\theta^h = h^{-1}\partial h$ はほとんど everywhere で well-defined な $(1,0)$-形式の行列であり、$L^2$-値形式をとる。
• グリフィスズ負の特異計量の例として、曲率 $\Theta^h = \bar{\partial}\theta^h$ が測度係数付き電流として定義されないものがあることが示され、標準的意味での曲率の定義が常に可能ではないことが示された。
• もし $\det h > \varepsilon > 0$ であれば、曲率 $\Theta^h$ は測度係数付き電流として定義可能であり、正則化列 $h_\nu$ は電流の意味で弱収束 $\Theta^{h_\nu} \to \Theta^h$ を満たす。
• ナカノの意味で厳密に負の曲率を持つ計量に対しては、畳み込みによる正則化が厳密ナカノ負性を保ち、曲率テンソルが元の曲率に弱収束する。
• 証明は $T_u^h$ の擬上への超調和性および $i\partial\bar{\partial}T_u^{h_\nu}$ に関する分布的不等式に依拠しており、これらは $\nu$ に一様に曲率の上限を制御するために用いられる。
• 収束結果は $\det h = 0$ となる解析的集合の補集合上で成り立ち、近似および測度論的議論により全定義域に拡張可能である。