[論文レビュー] Singular Perturbation Approximations for General Linear Quantum Systems

Shanon L. Vuglar, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、消滅演算子と生成演算子の両方を含む一般線形量子系について、特異摂動近似を展開し、近似系が物理的実現可能性を保つための条件を確立する。特異摂動系が常に物理的実現可能であるとは限らないが、静的なボゴリューボフ変換（一般化されたスイーザー）を介して物理的実現可能な系と等価であることが示され、量子制御系における高速ダイナミクスの正確なモデル化が可能になる。

ABSTRACT

This paper considers the use of singular perturbation approximations for general linear quantum systems where the system dynamics are described in terms of both annihilation and creation operators. Results that are related to the physical realizability property of the approximate system are presented.

研究の動機と目的

• 被動（消滅演算子のみ）のケースにとどまらない、一般線形量子系への特異摂動近似の拡張を目的とする。
• 量子ストキャスティック微分方程式の文脈において、特異摂動によって導かれた近似系の物理的実現可能性を分析すること。
• 特異摂動量子系が物理的実現可能であるか、または静的ボゴリューボフ成分を有する物理的実現可能系と等価である条件を確立すること。
• 高周波スイーザーなどの高速ダイナミクスを有する量子系のモデリングのためのフレームワークを提供すること、その際、物理的整合性を保持した低次元モデルを用いること。

提案手法

• 状態ベクトルが消滅演算子と生成演算子からなる量子確率的微分方程式（QSDE）を用いてシステムをモデル化する。
• 小さなパラメータ ε が高速成分をスケーリングするものとして、一般特異摂動法を適用し、遅い運動と速い運動を分離する。
• ハミルトニアンおよび結合演算子が特異摂動される特別な場合について、漸近展開と射影技術を用いて低次元モデルを導出する。
• J-Jユニタリ性という物理的実現可能性の重要な条件を満たすかどうかを、近似系の伝達関数に対して分析する。
• 行列の分解と変換則を用いて、近似系が静的ボゴリューボフ成分を介して物理的実現可能な系と等価であることを確立する。
• 高周波スイーザーを有する量子系をモデル化する具体的な例を提示し、特異摂動フレームワークから導かれる低次元モデルの明示的計算を通じて理論的結果を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消滅演算子と生成演算子の両方が存在する状況において、特異摂動量子系が物理的実現可能であるための条件は何か？
• RQ2 特異摂動量子系において、伝達関数の J-J ユニタリ性は物理的実現可能性とどのように関係するか？
• RQ3 物理的実現可能でない特異摂動量子系が、静的成分を有する物理的実現可能系と等価であることは可能か？
• RQ4 静的ボゴリューボフ変換（例：一般化されたスイーザー）は、低次元量子モデルにおける物理的整合性の維持にどのような役割を果たすか？
• RQ5 高周波光学素子などの高速ダイナミクスを有する量子系に対して、特異摂動近似を体系的に適用する方法は何か？

主な発見

• 一般特異摂動法を用いて導かれた特異摂動系は、物理的実現可能であるとは限らないが、その伝達関数は物理的実現可能性に必要な必要条件である J-J ユニタリ性を満たす。
• ハミルトニアンおよび結合演算子が両方とも特異摂動される特別な場合、近似系は静的ボゴリューボフ成分を介して物理的実現可能な系と等価である。
• 静的ボゴリューボフ成分は一般化された静的スイーザーに対応し、単独では物理的実現可能でないが、物理的システムによって近似可能である。
• 特異摂動フレームワークから導かれた行列の逆行列計算および変換則を用いて、等価性が構築されることで、その等価性が検証された。
• 高周波スイーザーを有する明示的例では、近似系が理論的予測と一致し、伝達関数およびシステム行列が閉形式で導出された。
• 従来の被動系に関する研究を、アクティブおよびパッシブな量子素子を含む一般ケースへと拡張し、量子制御およびモデリング分野への広範な応用を可能にした。