[論文レビュー] Singular principal bundles over higher dimensional manifolds and their moduli spaces

Alexander Schmitt|ArXiv.org|Jan 10, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、再帰的群 G に対して忠実な表現 ρ′: G → SL(V) を用いて、高次元複素多様体上の特異的主 G-バンドルを導入し、ベクトルバンドル理論を再帰的群へ一般化する。これらのバンドルを追加構造を持つ torsion-free シェーブルとして定式化することで、幾何的不変量理論（GIT）を用いて射影的モジュライ空間を構成し、Hyeon の安定主バンドルの準射影的モジュライ空間の自然なコンパクト化を提供する。これは、ベクトルバンドルの Gieseker のコンパクト化に類似している。

ABSTRACT

In this note, we introduce the notion of a singular principal G-bundle, associated to a reductive algebraic group G over the complex numbers by means of a faithful representation $\varrho^\p\colon G\lra \SL(V)$. This concept is meant to provide an analogon to the notion of a torsion free sheaf as a generalization of the notion of a vector bundle. We will construct moduli spaces for these singular principal bundles which compactify the moduli spaces of stable principal bundles.

研究の動機と目的

• 高次元複素多様体上の任意の再帰的群 G に対して、安定ベクトルバンドルの概念を主 G-バンドルへ一般化すること。
• 安定主バンドルを一般化し、コンパクトなモジュライ空間を許容する特異的主 G-バンドルのクラスを定義すること。
• 幾何的不変量理論（GIT）を用いて、これらの特異的バンドルの射影的モジュライ空間を構成し、コンパクト性を保証すること。
• Hyeon の安定主バンドルの準射影的モジュライ空間の自然なコンパクト化を提供すること。これは、ベクトルバンドルの Gieseker のコンパクト化に類似している。
• 特に Gómez と Sols が定義した主 G-シーヴェルと関連するテンソル場および主シーヴェルに関する既存の結果と整合性を持つ枠組みを確立すること。

提案手法

• 忠実な表現 ρ′: G → SL(V) を用いて、商バンドルの切断によって誘導される G 構造を持つ torsion-free シェーブルとして、特異的主 G-バンドルを定義する。
• 随伴表現および関連するテンソル場を用いて G 構造を符号化し、問題を半安定テンソル場の研究に還元する。
• GIT を用いて δ-半安定テンソル場のモジュライ空間を構成し、Reynolds 箇算子および Spec と GIT 商のファンクター性を活用する。
• 離散値環（DVR）上の族の持ち上げを用いて、モジュライ空間の固有性を示し、Luna のエタールスライス定理および Reynolds 箇算子の基底変換性質に依存する。
• 離散値環（DVR）上の族の持ち上げを構成することで、モジュライ空間が固有であることを示し、コンパクト性を保証する。
• Gómez と Sols が定義した主 G-シーヴェルの概念と関連づけ、正規 Aut(g)-バンドルの場合に等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群 G に対して、高次元多様体上での安定主 G-バンドルの自然な一般化は、ベクトルバンドルの torsion-free シェーブルに類似して定義可能であろうか？
• RQ2 このような一般化された主バンドルの射影的モジュライ空間を構成可能であろうか？ その際、コンパクト性が保証されるか？
• RQ3 提案された構成は、Hyeon の準射影的モジュライ空間および Gieseker のベクトルバンドルのコンパクト化とどのように比較可能であろうか？
• RQ4 著者の特異的主 G-バンドルと、Gómez と Sols が定義した主 G-シーヴェルとの関係は何か？
• RQ5 関連するテンソル場の δ-半安定性は、Gieseker 意味での元のシーヴェルの δ-半安定性と一致するであろうか？

主な発見

• 著者は、特異的主 G-バンドルの射影的モジュライ空間を構成し、Hyeon の安定主バンドルの準射影的モジュライ空間をコンパクト化した。
• 離散値環（DVR）上の族の持ち上げおよび Luna のエタールスライス定理に依存して、モジュライ空間の固有性を valuative criterion を用いて示した。
• Ramanathan や Hyeon のものよりも直接的な構成であり、テンソル場の GIT と Reynolds 箇算子による不変量の扱いに依存している。
• δ が小さい場合、テンソル場の δ-半安定性は、元のシーヴェルの Gieseker 半安定性を意味し、期待される振る舞いと整合する。
• 特異的主 G-バンドルのモジュライ空間は、ベクトルバンドルの Gieseker のコンパクト化に類似した自然なコンパクト化を提供する。
• G′ = G の場合、特に正規 Aut(g)-バンドルの場合に、著者の特異的 G-バンドルと Gómez と Sols の主 G-シーヴェルとの間に明確な対応関係が確立された。