[論文レビュー] Singular Riemannian Foliations: Exceptional Leaves; Tautness

Eva Nowak|ArXiv.org|Dec 17, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、水平に共役点のない特異リーマン的 foliation における葉の正則性を、グローバルなチューブ型近傍とモース理論によるサイクルの連結性を用いて確立する。焦点点が正確に特異点に一致することを証明し、すべての葉が正則であることを示し、ボットとサムエルソンの変分的完全群作用に関する結果をより広いfoliationの設定に一般化する。

ABSTRACT

For a singular Riemannian foliation whose leaves are properly embedded, we show in the first part of this article the existence of global tubular neighbourhoods, and we develop a global description of the foliation as stratification by types of leaves. The second part deals with the further restriction to a foliation without horizontal conjugate points, introduced by Lytchak and Thorbergsson, which in the special case of an isometric group action equals the concept of variationally completeness. Therefrom, we deduce a global geometric description -- the focal points of the leaves are exactly the singular points -- as well as a topological one: tautness of the leaves.

研究の動機と目的

• 変分的完全群作用における正則性結果を、水平に共役点のない特異リーマン的foliationのより広いクラスに拡張すること。
• グローバルなチューブ型近傍の構成により、正しく埋め込まれた葉を持つfoliationのグローバルな幾何的構造を確立すること。
• 水平に共役点のないfoliationにおいて、葉の焦点点が正確に特異点に一致することを同定すること。
• モース理論的手法を用いて、このようなfoliationにおける葉が0-正則であり、最終的に正則であることを証明すること。
• 環境多様体が単連結である場合、例外的葉（非自明なホロノミーをもつ葉）が存在しないことを示すこと。

提案手法

• 正しく埋め込まれた葉のグローバルなチューブ型近傍を、法線指数写像と同調変換を用いて構成する。
• 葉の型による多様体のグローバルな階層構造を導入し、正則な葉の集合が開かつ連結で、稠密であることを示す。
• 同調変換を負の半径にまで拡張し、葉の型を保存する微分同相写像であることを証明する。
• パス空間上のエネルギー汎関数にモース理論を適用し、水平測地線の反復変化を用いて連結サイクルを構成する。
• エネルギーの変化公式と焦点点の重複度を用いて、連結サイクルが正しい次元を持ち、卤性を保つことを保証する。
• パス空間における破れた測地線サイクルを構成し、臨界点を連結することで、モース指数と等しい非退化なサイクルの存在を示し、正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分的完全群作用における葉の正則性は、水平に共役点のない特異リーマン的foliationに一般化可能か？
• RQ2 正しく埋め込まれた葉を持つ特異リーマン的foliationのグローバルな幾何的構造は何か？
• RQ3 水平に共役点のないfoliationにおいて、葉の焦点点は特異点とどのように関係するか？
• RQ4 どのような条件下で、例外的葉（非自明なホロノミーをもつ葉）がこのようなfoliationに存在するか？
• RQ5 パス空間における臨界的測地線に対して、グローバルな連結サイクルを構成し、正則性を証明できるか？

主な発見

• 水平に共役点のない特異リーマン的foliationでは、葉の焦点点が正確に特異点に一致する。これは定理4.14で証明されている。
• チューブ型近傍上で定義された同調変換は、負の半径にまで拡張可能であり、葉およびその型を保存する微分同相写像である。
• このようなfoliationのすべての葉は0-正則であり、葉を多様体に埋め込む写像がすべての次数においてホモロジー群に上に押し上げられる。
• 環境多様体が単連結である場合、例外的葉は存在しない。これは、正則性条件の下ではそのような葉が存在できないからである。
• 連結サイクルの構成により、パス空間内にコンパクトで次元が正しい破れた測地線の多様体が得られ、すべての葉の正則性が証明される。
• R³内の2次元トーラスの例は、連結サイクルがトーラスとして実現されることを示しており、指数が2で、重複度1の焦点点が2つ存在する。これにより、サイクルの位相的・幾何学的整合性が確認される。