[論文レビュー] Singular stochastic equations on Hilbert spaces: Harnack inequalities for their transition semigroups

Giuseppe Da Prato, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リプシッツでない可測なドリフトを持つヒルベルト空間上での特異確率微分方程式の遷移半群に対して、ハルナック不等式を確立する。ヤソダ近似を用い、コルモゴロフ作用素の構造を活用することで、半群の正則化および超有界性の性質を証明し、弱い可積分性条件の下で無限小不変測度の存在と一意性を確立する。

ABSTRACT

We consider stochastic equations in Hilbert spaces with singular drift in the framework of [Da Prato, Röckner, PTRF 2002]. We prove a Harnack inequality (in the sense of [Wang, PTRF 1997]) for its transition semigroup and exploit its consequences. In particular, we prove regularizing and ultraboundedness properties of the transition semigroup as well as that the corresponding Kolmogorov operator has at most one infinitesimally invariant measure $μ$ (satisfying some mild integrability conditions). Finally, we prove existence of such a measure $μ$ for non-continuous drifts.

研究の動機と目的

• 非リプシッツ性のドリフトを有するヒルベルト空間上での特異確率微分方程式の遷移半群に対してハルナック不等式を確立すること。
• 関連する遷移半群の正則性および超有界性の性質を調査すること。
• 弱い可積分性条件の下で無限小不変測度の一意性を証明すること。
• 近似手法を用いて、連続でないドリフトに対してもこのような不変測度の存在を確立すること。
• ノイズ作用素σがヒルベルト＝シュミットでない場合の一般化を、ドリフトの適切な成長条件の下で行うこと。

提案手法

• m-非発散的ドリフトおよび有界で自己随伴かつ正定値なノイズ作用素σを有するヒルベルト空間上での特異SDEの枠組みを[7]に従って用いる。
• ドリフトの正則化および滑らかな係数を持つ近似SDEの系列の構成のため、ヤソダ近似を適用する。
• コルモゴロフ作用素に基づくカップリングおよび勾配推定を用いて、遷移半群のハルナック不等式を導出する。
• 線形空間$ \fancyscript{E}_A(H) $、すなわち指数関数の実部の線形結合の空間上でのコルモゴロフ作用素$ L_0 $を用いて、無限小不変性を分析する。
• 無限小不変測度の存在を保証するための条件$ \int_H (1+|x|^2)(1+|F_0(x)|) \mu(dx) < \infty $を用いる。
• コンパクト性の議論と関数$ \Theta(x) = \sum \frac{\lambda_i}{q_i} \langle x,e_i\rangle^2 $を用いた一様モーメントバウンディングにより、不変測度の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ性のドリフトを有するヒルベルト空間上での特異SDEの遷移半群に対して、ハルナック不等式を確立できるか？
• RQ2 ハルナック不等式の下で、遷移半群が示す正則性特性（例：滑らかさ、超有界性）は何か？
• RQ3 弱い可積分性条件の下で、コルモゴロフ作用素の無限小不変測度は一意的か？
• RQ4 ドリフトおよび生成作用素にどのような条件下で、連続でないドリフトに対しても不変測度が存在するか？
• RQ5 ヤソダ近似法を用いて、無限次元SDEにおける滑らかなドリフトから特異ドリフトへの結果の拡張はどのように可能か？

主な発見

• 特異SDEの遷移半群に対してハルナック不等式が成立し、その結果、遷移核が不変測度に関して絶対連続であることが示される。
• 遷移半群$ P_t^\mu $は正則化および超有界性を有し、$ \|p_t^\mu f\|_{L^\infty(H,\mu)} \leq \frac{e^{\omega t}}{\sqrt{t \wedge 1}} \|f\|_0 \|\sigma^{-1}\| \|f\|_{L^1(H,\mu)} $というバウンディングが成り立つ。
• コルモゴロフ作用素$ L_0 $の無限小不変測度$ \mu $は、可積分性条件$ \int_H (1+|x|^2)(1+|F_0(x)|) \mu(dx) < \infty $の下で一意的である。
• 成長条件$ |F_0(x)| \leq C(1 + |x|^m + \Theta^{1/2}(x)) $の下で、近似測度$ \mu_\alpha $の$ \Theta $-モーメントは一様に有界であり、その結果、緊密性が保証される。
• ヤソダ近似および一様モーメント推定を用いて、連続でないドリフトに対しても不変測度$ \mu $の存在が確立される。
• 条件$ \sup_{\alpha \in (0,\alpha_0)} \int_H \Theta d\mu_\alpha < \infty $は不変測度の存在に十分であり、この条件は$ A $の固有値がドリフトの成長に対して十分に速く増加する場合に成立する。