[論文レビュー] Singularities and Characteristic Classes for Differentiable Maps

Toru Ohmoto|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異的局所の特徴類—特にチェーン＝シュワルツ＝マクファーソン（CSM）類—を、等化コホモロジーと商チェーン類における普遍多項式を用いて、正則写像の特異的局所に対して一般化した枠組みを導入する。主な貢献は、重み付き斉次写像の局所で $\alpha$-特異的局所に対して、判別式ミルナー数を計算するための新手法であり、$m=2,3$ に対して明示的な公式を導出し、特異的理論における既知の結果を回復・拡張する。

ABSTRACT

This is a note on my mini-course in the International Workshop on Real and Complex Singularities held at ICMC-USP (Sao Carlos, Brazil) in July 2012. Here we introduce a new branch of the Thom polynomial theory for singularities of holomorphic maps, in which we replace counting singular points by computing weighted Euler characteristics. The main purpose is to apply this theory to the study on the vanishing topology of weighted homogeneous map-germs of finite A-codimension without any corank condition.

研究の動機と目的

• 正則写像の特異的局所の特徴類を計算する古典的トム多項式理論を一般化すること。
• Euler特性数やミルナー数などの位相的不変量をCSM類を用いて体系的に計算するアプローチを開発すること。
• 安定写像における多重特異的局所の重み付きEuler特性数およびミルナー数の普遍的公式を提供すること。
• $\mathcal{A}$-有限な写像局所において、次元 2 および 3 の場合の判別式ミルナー数 $\mu_{\Delta}$ を計算するための枠組みを適用すること。
• 等化チェーン類およびセグレ-SM類の母関数に基づく、効果的な計算ツールを確立すること。

提案手法

• 本稿は、商チェーン類 $c_i(f) = c_i(f^*TN - TM)$ におけるべき級数としての普遍的表現を用いて、$\eta$-特異的局所のCSM類を一意に表現する高次トム多項式 $tp^{\rm SM}(\overline{\eta})$ を導入する。
• 代数的ボレル構成を用い、等化CSM類形式的（定理 3.13）を用いて、特異的局所不変量の普遍的表現を導出する。
• 基本類とCSM類の双対性を用い、中心的な式として $\operatorname{Dual}\,c^{\rm SM}(\overline{\eta}(f)) = c(TM) \cdot tp^{\rm SM}(\overline{\eta})$ を用いる。
• $A_1$（クロスキャップ）やノーマルクロスイングなどの特定の特異的局所に対して、セグレ-SM類の母関数を用いて像および判別チャーン類を計算する。
• トーラス作用による局所化と重み付きEuler特性数の積分を用いて、安定写像 $f: M \to N$ に対してグローバル不変量を局所化する。
• 判別セグレ-SM類 $tp^{\rm SM}(\alpha_{\rm dis})$ の低次の項を用いて、$\mu_\Delta$ の明示的公式を導出し、べき級数からの類似留数抽出により評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トム多項式は、基本類を超える特異的局所の特徴類を計算するためにどのように一般化可能か？
• RQ2 安定写像における $\eta$-特異的局所のチェーン＝シュワルツ＝マクファーソン類の普遍的表現は何か？
• RQ3 $\mathcal{A}$-有限な写像局所に対して、判別式ミルナー数 $\mu_\Delta$ を特異的局所の特徴類を用いて計算可能か？
• RQ4 特異的局所の重み付きEuler特性数は、写像の商チェーン類とどのように関係するか？
• RQ5 重み付き斉一次写像局所 $\mathbb{C}^3,0 \to \mathbb{C}^3,0$ の判別式ミルナー数の明示的公式は何か？

主な発見

• $m=2$ の場合、重み付き斉次写像局所 $\mathbb{C}^2,0 \to \mathbb{C}^2,0$ の判別式ミルナー数は $\mu_\Delta = \frac{1}{2w_1^2w_2^2}(d_1d_2 - 2w_1w_2)(d_1^2 + d_2^2 + w_1^2 + 2d_1(d_2 - w_1 - w_2) + w_2^2 - 2d_2(w_1 + w_2))$ で与えられ、Gaffney-Mondの結果を新しい方法で回復する。
• $m=3$ の場合、重み $w_1,w_2,w_3$ および次数 $d_1,d_2,d_3$ の有理関数として、$\mu_\Delta$ の新しい普遍的公式が導出され、$d_i$ について次数 5、$w_i$ について次数 3 の明示的多項式表現が得られ、核のランク 1 の局所に対して有効である。
• $m=3$ の場合の $\mu_\Delta$ の公式は、$\mathcal{A}$-分類型の既知の計算結果と一致する。例えば、$(x^2 + y^2 + xz, xy, z)$ に対して $\mu_\Delta = 1$、$(x^9 + y^2 + xz, xy, z)$ に対して $\mu_\Delta = 183$ が得られる。
• 本稿は、多重特異的局所のセグレ-SM類の母関数を確立し、通常特異的を持つ射影的 3 次多様体における特異的局所の重み付きEuler特性数の計算を可能にする。
• この枠組みにより、正規化 $M$ 上での積分を用いて、$\mathbb{P}^3$ 内の特異的曲面 $X \subset \mathbb{P}^3$ の $\chi(X)$ を計算する。この式には $c_1(TM), c_2(TM), c_1, c_2, s_0 = f^*f_*(1), s_1 = f^*f_*(c_1)$ が含まれ、有理数係数の表現が得られる。
• 留数抽出 $[\cdots]_3$ を用いたべき級数 $tp^{\rm SM}(\alpha_{\rm dis})$ からの計算により、判別式ミルナー数が成功裏に計算され、既知の不変量と整合性が確認された。