[論文レビュー] Singularities in mixed characteristic via perfectoid big Cohen-Macaulay algebras

Linquan Ma, Karl Schwede|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 47被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、perfectoid big Cohen-Macaulay代数を用いて、混合特徴値における有理的・F正則特異点、および乗数・テストイデアルの類似物を導入する。これらの不変量が十分に大きな選択において、perfectoid BCM代数の選択に依存しないことを確立し、変形および制限定理を証明することで、混合特徴値特異点と、特徴値0および正の特徴値の類似物を結びつける。

ABSTRACT

We utilize recent results of André and Gabber on the existence of weakly functorial integral perfectoid big Cohen-Macaulay (BCM) algebras to study singularities of local rings in mixed characteristic. In particular, we introduce a mixed characteristic BCM-variant of rational/$F$-rational singularities, of log terminal/$F$-regular singularities and of multiplier/test ideals of divisor pairs. We prove a number of results about these objects including a restriction theorem for perfectoid BCM multiplier/test ideals and deformation statements for perfectoid BCM-regular and BCM-rational singularities. As an application, we obtain results on the behavior of $F$-regular and $F$-rational singularities in arithmetic families.

研究の動機と目的

• 正の特徴値および特徴値0における有理的およびF正則特異点の理論を、perfectoid big Cohen-Macaulay代数を用いて混合特徴値へ拡張すること。
• 除数対に関して、混合特徴値における乗数イデアルおよびテストイデアルのperfectoid BCM類似物を定義し、それらを研究すること。
• これらの不変量が、perfectoid BCM代数の大きな選択に対して不変であることを確立し、その堅牢性を保証すること。
• BCM-有理的およびBCM-正則特異点に関して、既知の特徴値0および正の特徴値における結果と類似する変形および制限定理を証明すること。
• この枠組みを、特異点の族に適用し、F有理的および強くF正則特異点が変形され、算術的族において特殊化のもとで保存されることを示すこと。

提案手法

• AndréおよびGabberによる最近の結果、すなわち弱関手的整数的perfectoid big Cohen-Macaulay R+-代数に関する結果を用いる。
• パラメータテスト部分加群およびテストイデアルのperfectoid BCM類似物として、新たな不変量τB(ωR)およびτB(R, ∆)を定義する。
• Bが十分に大きいとき、これらの不変量がperfectoid BCM代数Bの選択に依存しないことを証明する。
• 有限写像の下での変換則および摂動安定性を用いて、構造的性質を確立する。
• 比較定理を用いて、perfectoid BCM不変量と古典的乗数イデアルおよびKLT特異点を関連付ける。
• 双有理幾何および基底変換技法を用いて、算術的族における挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴値における有理的およびF正則特異点は、perfectoid big Cohen-Macaulay代数を用いて定義可能か？
• RQ2 得られるテストイデアルおよび乗数イデアルは、perfectoid BCM代数の選択に依存しないか？
• RQ3 これらの不変量は、特徴値0および正の特徴値におけるものと類似する変形および制限定理を満たすか？
• RQ4 この理論を特異点の族に適用し、F有理的および強F正則性の保存が示せるか？
• RQ5 解体が存在する場合、perfectoid BCMテストイデアルは古典的乗数イデアルとどのように関係するか？

主な発見

• 十分に大きな整数的perfectoid big Cohen-Macaulay R+-代数Bに対して、perfectoid BCMテストイデアルτB(R, ∆)はBの選択に依存しない。
• K_R + ∆がQ-線形特徴の正規Rに対して、すべての十分に大きなperfectoid Bに対してτB(R, ∆) ⊆ J(R, ∆)が成り立つ。ここでJ(R, ∆)は古典的乗数イデアルである。
• ある十分に大きなperfectoid Bに対してRがBCMB-有理的であれば、Rは擬似有理的である。
• ある十分に大きなperfectoid Bに対して(R, ∆)がBCMB-正則であれば、(R, ∆)はKLTである。
• perfectoid BCMテストイデアルτB(R, ∆)は、小さな摂動に対して安定である：0 < ε ≪ 1およびg ≠ 0に対してτB(R, ∆) = τB(R, ∆ + ε div(g))が成り立つ。
• 算術的族において、F有理的および強くF正則特異点は、閉ファイバーのZariski稠密な開集合において変形され、特殊化のもとで保存される。