[論文レビュー] Singularities in string theory

Edward Witten|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、A-D-E特異点や小さなインスタントンなどの時空特異点が、量子幾何的構造に由来する弦理論によってどのように解消されるかを調査している。特異点付近では、古典的構成（ADHMインスタントンなど）によるものか、あるいは古典的に記述できない非ガウス型 conformal field theory (CFT) によるものか、有効理論が出現する。これは弦理論における深いつよみの量子幾何的双対性を明らかにする。

ABSTRACT

String theory is a quantum theory that reproduces the results of General Relativity at long distances but is completely different at short distances. Mathematically, string theory is based on a very new -- and little understood -- framework for geometry that reduces to ordinary differential geometry when the curvature is asymptotically small. In the 1990's, many interesting results were obtained about the behavior of string theory in spacetimes that develop singularities. In many cases, the physics at the singularity is governed by an effective Lagrangian constructed using an interesting bit of classical geometry such as the association of A-D-E groups with certain hypersurface singularities or the ADHM construction of instantons. In other examples, the physics at the singularity cannot be described in classical terms but involves a non-Gaussian conformal field theory.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論が崩壊するような特異点を呈する時空における弦理論の振る舞いを理解すること。
• 曲率が極めて大きくなり、古典的記述が失敗する特異点付近における量子重力効果の現れ方を調査すること。
• 弦のコンactificationにおける特異的領域に、古典的（例：U(k)ゲージ群）または量子的（非ガウス型 CFT）な物理的自由度がどのように出現するかを特定すること。
• A-D-E群やハイパーカイラー商などの高度な数学的構造が、量子重力現象を記述するために果たす役割を明確にすること。
• 非摂動的量子効果（例：インスタントンバブル）が、古典的記述では記述できない conformal field theory を生じさせることを示すこと。

提案手法

• M理論、Type IIB、ヘテロティック弦理論の間の双対性を用いて、特異的時空における弦理論の振る舞いを分析する。
• ADHM構成を用いて、R⁴ 上のSU(N)ゲージ理論におけるkインスタントン解を記述し、10次元時空における特異的領域Q上に現れるU(k)ゲージ群を解釈する。
• バルク重力（アインシュタイン＝ヒルベルト項）とQ上に局在化したゲージ力学を含む有効作用を導出し、Tr(F ∧ *F) 項が新たなゲージ系を記述することを示す。
• Type IIB弦理論におけるA-D-E特異点上の小さなインスタントン問題を研究し、解消には古典的場やガウス型作用では記述できない非ガウス型6次元 conformal field theory が必要であることを示す。
• この非自明なCFTの存在を用いて、4次元ヤン＝ミルズ理論におけるモンテンケン＝オリーブ双対性を導出し、4次元多様体のトポロジカル不変量を計算する。
• 超対称性を用いて有効作用の形を制限し、特異的領域における量子記述の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論が失敗するような時空特異点において、弦理論はどのようにそれを記述するのか？
• RQ2 小さなインスタントン問題における特異的領域Q上に、どのような物理的自由度が出現するのか？
• RQ3 なぜ古典的幾何的構成（ADHMなど）はE₈インスタントンを記述できないのか？何に置き換えられるのか？
• RQ4 Type IIB弦理論におけるA-D-E特異点上に、非ガウス型 conformal field theory はどのようにして出現するのか？
• RQ5 特に conformal 不変性や双対性といった量子場理論の概念を、古典的幾何を越えて特異点における物理を記述するためにどのように用いることができるか？

主な発見

• Type IスーパーストリングまたはSO(32)ヘテロティックストリングでは、小さなインスタントン特異点は、codimension-four領域Q上に現れるU(k)ゲージ理論によって解消され、Tr(F ∧ *F) 項を含む有効作用が得られる。
• 元来は古典的数学的道具であったADHM構成が、Q上での低エネルギー有効理論において動的なゲージ群として物理的に実現される。
• Type IIB弦理論におけるA-D-E特異点上では、古典的場やガウス型作用では記述できない非ガウス型6次元 conformal field theory が解消に寄与する。
• この非自明なCFTは、非アーベルゲージ理論が1形式接続を一般化するのと同様に、2形式ゲージ場と関係しており、高次形式対称性の量子一般化を示唆する。
• このCFTの存在は、4次元N=4ヤン＝ミルズ理論におけるモンテンケン＝オリーブ双対性を示し、量子重力効果と量子場理論における双対性を結びつける。
• E₈ × E₈ヘテロティックストリングでは、ADHMに類似した構成がないが、Q上に同じ非ガウス型CFTが現れることから、特異点の解消に普遍的な量子メカニズムが存在することが示唆される。