[論文レビュー] Six-point remainder function in multi-Regge-kinematics: an efficient approach in momentum space

Johannes Broedel, M. Sprenger|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、プランル N = 4 超ヤン・ミルズ理論における6点剰余関数を摂動論のすべての位で計算するための、運動量空間形式を提示する。この形式は、積分間の再帰関係と単値的調和多重対数積分（SVHPLs）を活用している。すべての積分を少数の基底積分に還元し、SVHPLs に対してインデックスの付加やシャッフル操作を施すことで、7ループまでフル対数的位で、10ループまで4番目の対数的位で、直接的に剰余関数を計算可能となり、ペンギントンのすべてのループにおける対数的位の公式を正当化した。

ABSTRACT

Starting from the known all-order expressions for the BFKL eigenvalue and impact factor, we establish a formalism allowing the direct calculation of the six-point remainder function in N=4 super-Yang-Mills theory in momentum space to - in principle - all orders in perturbation theory. Based upon identities which relate different integrals contributing to the inverse Fourier-Mellin transform recursively, the formalism allows to easily access the full remainder function in multi-Regge kinematics up to 7 loops and up to 10 loops in the fourth logarithmic order. Using the formalism, we prove the all-loop formula for the leading logarithmic approximation proposed by Pennington and investigate the behavior of several newly calculated functions.

研究の動機と目的

• 運動量空間におけるプランル N = 4 超ヤン・ミルズ理論における6点剰余関数を、すべての位で直接計算するための方法を開発すること。
• 逆フーリエ・メリン変換の計算的ボトルネックを回避するため、積分間の再帰関係を確立すること。
• SVHPLs の操作（インデックスの付加やシャッフル）を用いて、運動量空間で直接結果を生成する体系的なアルゴリズムを提供すること。
• ペンギントンが提唱した、すべてのループにおける対数的位近似（LLA）の公式を数学的に証明すること。
• フル対数的位で7ループまで、4番目の対数的位（N4LLA）で10ループまでの剰余関数を計算すること。

提案手法

• 逆フーリエ・メリン変換における積分の留数恒等式から導かれる再帰関係に基づく。すべての積分を最小限の基底積分に還元する。
• 基底積分はオイラー Z-和で評価され、SVHPLs の自然な操作（インデックスの付加とシャッフル積恒等式の適用）を介して、全結果が再構成される。
• フォーリエ・メリン空間におけるBFKL固有値とインパクト因子の既知のすべての位の表現を入力として用い、任意のループ数および対数的位で結果を体系的に生成可能である。
• 最終的な振幅の単値性は、基底に戻って留数を追跡することで保証され、明示的な逆変換を必要としない。
• アルゴリズムは、χ±の挿入に対する微分方程式を再帰的に適用することで実装され、これらは被積分関数のレベルだけでなく、積分レベルでも成立することが証明されている。
• この方法は、ペンギントンのすべてのループ LLA 公式を再現し、N4LLA で10ループまでの高次ループデータを生成することで検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチ・レグジ・キンマティクスにおける6点剰余関数を、すべてのループ位で直接運動量空間で計算できるか？
• RQ2 逆フーリエ・メリン変換における積分に内在する再帰的構造は何か？この構造により、少数の基底に還元可能である。
• RQ3 単値的調和多重対数積分（SVHPLs）をどのように体系的に用いて、基底積分から全剰余関数を再構成できるか？
• RQ4 ペンギントンが提唱した剰余関数のすべてのループにおける対数的位近似（LLA）の公式は数学的に正当化できるか？
• RQ5 本手法により、4番目の対数的位（N4LLA）で10ループまでの剰余関数を生成できるか？

主な発見

• 本稿では、提案された運動量空間形式を用いて、ペンギントンの6点剰余関数に対するすべてのループにおける対数的位近似（LLA）の公式を正当化した。
• 本手法により、フル対数的位で7ループまで、4番目の対数的位（N4LLA）で10ループまでの剰余関数を運動量空間で直接計算可能となった。
• 形式主義は、逆フーリエ・メリン変換を明示的に行わず、SVHPLs の操作（インデックスの付加とシャッフル）によって結果を生成する。
• アルゴリズムは、留数恒等式から導かれる再帰関係に基づき、オイラー Z-和で表現可能な最小限の基底積分にすべての積分を還元する。
• 著者らは、10ループまで N3LLA における剰余関数の明示的プロットと、9ループまで N4LLA におけるプロットを、計算されたデータに基づいて提供した。
• アルゴリズムが生成した高次ループデータに基づき、共線的・レグジ極限における剰余関数の予想が提示された。