[论文解读] Sixteen space-filling curves and traversals for d-dimensional cubes and simplices

HJ Herman Haverkort|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 4

一句话总结

本文提出了一套统一框架，用于描述d维立方体和单纯形中的16种空间填充遍历路径，采用一致的符号系统来推广已知曲线并引入新曲线。该框架通过递归细分、旋转、反射和重排，实现对不连续与连续遍历路径的精确递归构造，并提供了坐标到遍历顺序映射及逆运算的算法。

ABSTRACT

This article describes sixteen different ways to traverse d-dimensional space recursively in a way that is well-defined for any number of dimensions. Each of these traversals has distinct properties that may be beneficial for certain applications. Some of the traversals are novel, some have been known in principle but had not been described adequately for any number of dimensions, some of the traversals have been known. This article is the first to present them all in a consistent notation system. Furthermore, with this article, tools are provided to enumerate points in a regular grid in the order in which they are visited by each traversal. In particular, we cover: five discontinuous traversals based on subdividing cubes into 2^d subcubes: Z-traversal (Morton indexing), U-traversal, Gray-code traversal, Double-Gray-code traversal, and Inside-out traversal; two discontinuous traversals based on subdividing simplices into 2^d subsimplices: the Hill-Z traversal and the Maehara-reflected traversal; five continuous traversals based on subdividing cubes into 2^d subcubes: the Base-camp Hilbert curve, the Harmonious Hilbert curve, the Alfa Hilbert curve, the Beta Hilbert curve, and the Butz-Hilbert curve; four continuous traversals based on subdividing cubes into 3^d subcubes: the Peano curve, the Coil curve, the Half-coil curve, and the Meurthe curve. All of these traversals are self-similar in the sense that the traversal in each of the subcubes or subsimplices of a cube or simplex, on any level of recursive subdivision, can be obtained by scaling, translating, rotating, reflecting and/or reversing the traversal of the complete unit cube or simplex.

研究动机与目标

• 为任意维度中的空间填充遍历路径提供一致且可扩展的符号系统，解决先前文献中存在的一致性与歧义性问题。
• 系统性地将已知的空间填充曲线（如Hilbert、Peano和Z-order曲线）推广至更高维度，并使用精确的几何变换。
• 引入并正式描述此前描述不足或全新的遍历路径，包括Inside-out、Double-Gray-code和Maehara-reflected遍历路径。
• 通过递归算法，实现对全部16种遍历路径的遍历顺序与逆映射（坐标到遍历索引）的高效计算。
• 通过确保保持局部性与测度不变性，支持计算几何、数据结构和高性能计算等实际应用。

提出的方法

• 采用基于子立方体/子单纯形索引、变换（旋转、反射、反转）和坐标置换的递归符号系统，定义每条遍历路径。
• 通过将d维单位立方体或单纯形递归划分为2^d或3^d个子单元，每个子单元按基遍历路径的缩放、变换版本进行遍历。
• 使用带符号置换和重心坐标编码几何对称性，尤其适用于Hill-Z和Maehara-reflected等单纯形遍历路径。
• 提出系统性方法，通过在每一级递归中仔细选择变换序列，确保连续性（如端点匹配）与局部性保持。
• 开发算法，利用位操作与递归分解，计算任意网格点的遍历索引及其逆映射（从索引到坐标）。
• 应用平方运算（低维遍历路径的重复应用）生成高维遍历路径，实现模块化构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意维度中以一致且无歧义的方式定义空间填充遍历路径？
• RQ2 哪些旋转、反射与重排组合可在d维中产生连续且保持局部性的遍历路径？
• RQ3 不连续遍历路径（如Z-order、Gray-code）能否系统性地推广至d维，并具备清晰的变换规则？
• RQ4 哪些几何与拓扑约束会阻止某些遍历路径（如半面连续型）在更高维度中存在？
• RQ5 如何利用递归与位级操作，为全部16种遍历路径高效实现逆映射与索引计算？

主要发现

• 本文成功使用统一符号系统将16种不同的空间填充遍历路径推广至任意维度，包括5种不连续路径与11种连续路径。
• Base-camp、Harmonious、Alfa、Beta与Butz-Hilbert曲线被正式扩展至d维，其精确变换规则确保了连续性与局部性保持。
• 基于3^d细分的Peano、Coil、Half-coil与Meurthe曲线被推广至d维，并提供了遍历与逆计算的算法。
• Inside-out与Double-Gray-code遍历路径作为新颖的自相似不连续路径被提出，具备优良的局部性与位并行索引特性。
• Hill-Z与Maehara-reflected遍历路径在d维单纯形中被正式定义，后者通过对称反射模式实现面连续性。
• 实现了一个软件原型，支持对全部16种遍历路径的高效遍历索引与逆映射，采用递归分解与位操作。