[論文レビュー] Skew cyclic and skew $(α_1 + uα_2 + vα_3 + uvα_4)$-constacyclic codes over $F_q + uF_q + vF_q + uvF_q$

Habibul Islam, Om Prakash|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Coding theory and cryptography被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$q = p^m$ であり、$p$ が奇数である有限環 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 上でのねじれ循環およびねじれ $(\alpha_1 + u\alpha_2 + v\alpha_3 + uv\alpha_4)$-定数循環符号を調査する。ねじれ循環符号のグレイ像が $\mathbb{F}_q$ 上のインデックス4のねじれ準循環符号であることが示され、部分環上での分解を用いて生成多項式およびイデムポテン生成子が提供され、ねじれ定数循環符号が定数循環または準ねじれであることに等価であることが示されている。

ABSTRACT

In this note, we study skew cyclic and skew constacyclic codes over the ring $\mathcal{R}=F_{q}+uF_{q}+vF_{q}+uvF_{q}$ where $q=p^{m},$ $p$ is an odd prime, $u^{2}=u,~v^{2}=v,~uv=vu$. We show that Gray images of a skew cyclic and skew $α$-constacyclic code of length $n$ are skew quasi-cyclic code of length $4n$ over $F_{q}$ of index 4. Also, it is shown that skew $α$-constacyclic codes are either equivalent to $α$-constacyclic codes or $α$-quasi-twisted codes over $\mathcal{R}$. Further, structural properties, specially, generating polynomials and idempotent generators for skew cyclic and skew constacyclic codes are determined by decomposition method.

研究の動機と目的

• 非可換かつ非鎖の環 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 上でのねじれ循環およびねじれ定数循環符号を研究すること。ここで $u^2 = u$、$v^2 = v$、$uv = vu$ である。
• 部分環上での分解法を用いて、生成多項式およびイデムポテン生成子を含むこれらの符号の構造的性質を同定すること。
• ねじれ定数循環符号と、それが定数循環または準ねじれ符号に等価である関係を特徴付けること。
• ねじれ循環符号のグレイ写像を分析し、それが $\mathbb{F}_q$ 上のインデックス4のねじれ準循環符号であることを示すこと。

提案手法

• 非可換乗法を定義するため、Frobenius自己同型 $\theta_t: a \mapsto a^{p^t}$ を用いたねじれ多項式環 $\mathcal{R}[x; \theta_t]$ を用い、$(ax^i) \ast (bx^j) = a \theta_t^i(b) x^{i+j}$ により乗法を定義する。
• 環 $\mathcal{R}$ を4つの直交イデアル $(1-u-v+uv)$、$(u-uv)$、$(v-uv)$、$uv$ に分解し、$\mathbb{F}_q$ 上の部分符号に符号構造を還元する。
• 符号を $\mathbb{F}_q$ 上の符号に写像するため、グレイ写像 $\phi: \mathcal{R}^n \to \mathbb{F}_q^{4n}$ を用い、ハミング重みを保存し、画像符号の解析を可能にする。
• 生成多項式を導出するため、$\mathcal{R}[x; \theta_t]$ 内で $x^n - \alpha$ を因数分解し、ここで $\alpha = \alpha_1 + u\alpha_2 + v\alpha_3 + uv\alpha_4$ であり、$f(x)$ が $x^n - \alpha$ の右因子であることを示す。
• 部分環 $\mathbb{F}_q[x; \theta_t]/\langle x^n - \beta \rangle$ からのイデムポテン元の上げ上げを用いて、イデムポテン生成子を構成する。ここで $\beta \in \{\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_3, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4\}$ である。
• 商環 $\mathcal{R}[x; \theta_t]/\langle x^n - \alpha \rangle$ にイデムポテン生成子が存在するための条件として、$\gcd(n, k) = 1$ かつ $k = m/t$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius自己同型 $\theta_t$ における環 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 上でのねじれ循環符号の構造は何か？
• RQ2 環 $\mathcal{R}$ 上のねじれ循環符号のグレイ像はどのように振る舞い、$\mathbb{F}_q$ 上のどの符号型に属するか？
• RQ3 ねじれ $\alpha$-定数循環符号が $\alpha$-定数循環符号または $\alpha$-準ねじれ符号に等価であるための条件は何か？
• RQ4 ねじれ定数循環符号の生成多項式およびイデムポテン生成子は何か？また、分解法によりどのように構成できるか？
• RQ5 ねじれ定数循環符号が自己双対であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• 長さ $n$ の任意のねじれ循環符号 $\mathcal{C}$ について、$\mathcal{R}$ 上のグレイ像は、$\mathbb{F}_q$ 上のインデックス4、長さ $4n$ のねじれ準循環符号である。
• ねじれ $\alpha$-定数循環符号は、$n$ と $k = m/t$ の最大公約数に応じて、$\alpha$-定数循環符号または $\alpha$-準ねじれ符号に等価である。
• 商環 $\mathcal{R}[x; \theta_t]/\langle x^n - \alpha \rangle$ 内の任意の左イデアルは、単一の多項式により生成可能であり、これはすべてのねじれ定数循環符号が主生成であることを示している。
• イデムポテン生成子は $\gcd(n, k) = 1$ のとき存在し、$e(x) = (1-u-v+uv)e_1(x) + (u-uv)e_2(x) + (v-uv)e_3(x) + uve_4(x)$ として構成される。ここで $e_i(x)$ は $\mathbb{F}_q$ 上のイデムポテン生成子である。
• ねじれ $\alpha$-定数循環符号 $\mathcal{C} = \langle f(x) \rangle$ の双対符号は、随伴多項式 $\widehat{h}(x)$ により生成され、$|\mathcal{C}^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg f_i(x)}$ である。
• 例は、自己双対なねじれ定数循環符号が存在することを確認している。例えば、$\mathcal{R} = \mathbb{F}_{49} + u\mathbb{F}_{49} + v\mathbb{F}_{49} + uv\mathbb{F}_{49}$ 上の長さ4の自己双対符号（$\alpha = 1 - 2uv$）、および $\mathbb{F}_9 + u\mathbb{F}_9 + v\mathbb{F}_9 + uv\mathbb{F}_9$ 上の長さ7の定数循環符号（$f(x)$ が $x^7 - (1 - 2v - 2uv)$ を割り切る）が存在する。