[論文レビュー] Skew monoidales, skew warpings and quantum categories

Stephen Lack, Ross Street|arXiv (Cornell University)|May 1, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、モノイダル2圏における歪モノイダル代数（skew monoidales）を、歪モノイダル圏の一般化として導入し、braided monoidal category 𝒱 における量子圏が、ベースの余代数の余単位から得られる単位をもつ Comod(𝒱) 内の歪モノイダル代数であることを示している。主な貢献は、結合則の制約が可逆である歪モノイダル代数が量子グロイドに対応することであり、これによりbialgebroids と量子圏が高階圏的構造によって統一される。

ABSTRACT

Kornel Szlachányi recently used the term skew-monoidal category for a particular laxified version of monoidal category. He showed that bialgebroids $H$ with base ring $R$ could be characterized in terms of skew-monoidal structures on the category of one-sided $R$-modules for which the lax unit was $R$ itself. We define skew monoidales (or skew pseudo-monoids) in any monoidal bicategory $\mathscr M$. These are skew-monoidal categories when $\mathscr M$ is $\mathrm{Cat}$. Our main results are presented at the level of monoidal bicategories. However, a consequence is that quantum categories in the sense of Day-Street with base comonoid $C$ in a suitably complete braided monoidal category $\mathscr V$ are precisely skew monoidales in $\mathrm{Comod} (\mathscr V)$ with unit coming from the counit of $C$. Quantum groupoids are those skew monoidales with invertible associativity constraint. In fact, we provide some very general results connecting opmonoidal monads and skew monoidales. We use a lax version of the concept of warping defined recently by Booker-Street to modify monoidal structures.

研究の動機と目的

• モノイダル2圏の文脈において、歪モノイダル圏を一般化するため、歪モノイダル代数（歪擬ポーラス）を定義すること。
• Comod(𝒱) 内の歪モノイダル代数を通じて、bialgebroids、量子圏、量子グロイドを結びつけるカテゴリカルな枠組みを確立すること。
• braided monoidal category 𝒱 における量子圏が、ベースの余代数の余単位によって誘導される単位をもつ Comod(𝒱) 内の歪モノイダル代数と同値であることを示すこと。
• 量子グロイドを、結合則制約が可逆である歪モノイダル代数として特徴づけること。
• モノイダル構造のラックスワーピングを用いた一般的構成により、opmonoidal monads と歪モノイダル代数を関連づけること。

提案手法

• 任意のモノイダル2圏 𝒮 において歪モノイダル代数を定義し、ここでは 𝒮 = Cat の場合に歪モノイダル圏が一般化されることを示す。
• 文献[3]のワーピング構成のラックス版を用い、モノイダル構造を変更することで、歪モノイダル代数の導出を可能にする。
• 余作用 r から生じる随伴 r_∗ ⊣ r^∗ を用いて、左歪モノイダル代数 (C, M, ε*, α, λ, ρ) から Comod(𝒱) 内の C^e 上の余代数的モノイド A を構成する。
• μ: P → M および η: C → M を用いて A におけるモノイダル構造を定義する。ここで P = M₂ ⊗_C M₂ であり、μ は α と余単位 ε の合成である。
• 左融合2セル v^ℓ を用いて、ホイッスルリングと余代数圏内の同型を介して、歪モノイダル代数の結合則制約 α: M·(M⊗1_C) ⇒ M·(1_C⊗M) を導出する。
• 余単位 ε と余代数圏の構造を用いて、単位制約 λ: M₁ ⇒ 1_C および ρ: 1_C ⇒ M₂ を確立し、歪モノイダル代数の公理と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪モノイダル圏は、歪モノイダル代数の概念を用いて、モノイダル2圏の文脈にどのように一般化できるか？
• RQ2 braided monoidal category 𝒱 に対して、量子圏は Comod(𝒱) 内の歪モノイダル代数として、どのように正確にカテゴリカルに特徴づけられるか？
• RQ3 量子グロイドは、可逆な結合則制約をもつ歪モノイダル代数として、どのように関係しているか？
• RQ4 R-加群の圏上の opmonoidal monad は、どのように Comod(𝒱) 内の歪モノイダル代数に対応するか？
• RQ5 文献[3]のラックスワーピング構成は、既存のモノイダル構造から歪モノイダル代数を導出するためにどのように機能するか？

主な発見

• 適切に完備な braided monoidal category 𝒱 における量子圏は、ベースの余代数 C の余単位によって誘導される単位をもつ Comod(𝒱) 内の歪モノイダル代数とちょうど一致する。
• 量子グロイド（[6] の意味で）は、結合則制約 α が可逆である Comod(𝒱) 内の歪モノイダル代数として同定される。
• 左歪モノイダル代数 (C, M, ε*, α, λ, ρ) から、Comod(𝒱) 内の C^e 上の余代数的モノイド A が構成され、A = M として 𝒱 内の対象として与えられる。
• A におけるモノイダル構造は、μ: P → M および η: C → M を用いて定義され、ここで P = M₂ ⊗_C M₂ であり、μ は α と余単位 ε の合成である。
• 歪モノイダル代数の結合則制約 α は、左融合2セル v^ℓ をホイッスルリングおよび余代数圏内の同型を介して導出される。
• 単位制約 λ と ρ は、Comod(𝒱) 内の射として実現され、λ: M₁ → 1_C および ρ: 1_C → M₂ であり、M₁ と M₂ は ε* と M を含む合成である。