[論文レビュー] Skew-Polynomial Rings and Skew-Cyclic Codes

Heide Gluesing-Luerssen|ArXiv.org|Feb 9, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限体上の自己同型型歪多項式環および歪巡回符号について包括的なサーベイを提供する。歪巡回符号の代数的基盤を歪巡回行列を用いて確立し、設計最小距離を持つ2種類の歪BCH符号の構成を提示する。1つは連続するべき乗に基づき、もう1つは体元のフロベニウスべき乗に基づくもので、両者とも非可換設定における古典的BCH符号の原理を一般化し、最小距離の境界が証明されている。

ABSTRACT

This is a survey on the theory of skew-cyclic codes based on skew-polynomial rings of automorphism type. Skew-polynomial rings have been introduced and discussed by Ore (1933). Evaluation of skew polynomials and sets of (right) roots were first considered by Lam (1986) and studied in great detail by Lam and Leroy thereafter. After a detailed presentation of the most relevant properties of skew polynomials, we survey the algebraic theory of skew-cyclic codes as introduced by Boucher and Ulmer (2007) and studied by many authors thereafter. A crucial role will be played by skew-circulant matrices. Finally, skew-cyclic codes with designed minimum distance are discussed, and we report on two different kinds of skew-BCH codes, which were designed in 2014 and later.

研究の動機と目的

• 有限体上の自己同型型歪多項式環についての体系的な導入を提供すること。これは符号理論にとって不可欠である。
• 歪巡回行列と非可換環におけるイデアル論理を用いて、$(\sigma,f)$-歪巡回符号の代数的枠組みを構築すること。
• 設計最小距離を持つ2種類の歪BCH符号の構成を提示することにより、古典的BCH符号を歪多項式設定に一般化すること。
• 歪定数巡回符号の双対性の性質を明確にすること。具体的には、$(\sigma,x^n-a)$-歪定数巡回符号の双対が$(\sigma,x^n-a^{-1})$-歪定数巡回符号であることを示すこと。
• 歪評価符号が最大距離分離性（MDS）を達成するための条件を確立すること。歪バーデルモンド行列と最小多項式次数条件を用いる。

提案手法

• 体自己同型$\sigma$によって定義される歪多項式環$\mathbb{F}[x;\sigma]$を用い、非可換乗法$xa = \sigma(a)x$（$a \in \mathbb{F}$）を採用する。
• 歪巡回行列を用いて歪巡回符号の行空間を表現・分析し、従来の巡回符号で用いられる巡回行列を一般化する。
• 生成多項式の構成に、線形因子$x - \beta^{q^t}$の左最小公倍（lclm）を用いる。
• 歪バーデルモンド行列を用いて歪多項式のランクと根構造を分析し、集合の最小多項式と関連付ける。
• $q$-巡回空間と線形化多項式の概念を用いて、歪多項式の根とランク距離符号理論を結びつける。
• 生成多項式の$\sigma$-逆元作用を用いることで、双対符号の生成多項式が得られることを示し、双対性の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型型乗法を持つ歪多項式環は、可換多項式環と比べて、根の重複度や因数分解においてどのように異なるか？
• RQ2 歪巡回符号はどのようにして古典的巡回符号を一般化するのか。そのより大きな符号族を支える代数的構造は何か？
• RQ3 非可換根構造を用いて、設計最小距離を持つ歪BCH符号をどのように構成できるか？
• RQ4 歪評価符号がMDSを達成するための条件は何か。また、古典的一般化リード・ソロモン符号とはどのように異なるか？
• RQ5 歪定数巡回符号の双対性は$\sigma$-逆元作用においてどのように振る舞うか。また、モジュラス$x^n - a$は果たす役割は何か？

主な発見

• 2種類の異なる歪BCH符号の族が構成された。1つは体元の連続するべき乗を根とするもので、もう1つは連続するフロベニウスべき乗を根とするもので、両者とも古典的BCH符号の原理を非可換設定に一般化している。
• 集合$\overline{S}$がコセットの和集合であるとき、$g' = \text{lclm}(x - \beta^{q^t} \mid t \in \overline{S})$で生成される符号の最小距離は$\delta + \nu$以上である。$\mathbb{F}_{2^6}[x;\sigma]$における明示的構成により、長さ12、次元6、実際の最小距離6の$[12,6,6]$符号が得られた。
• 歪評価符号$\mathcal{E}_{\sigma,\alpha_1,\ldots,\alpha_n}$は、歪バーデルモンド行列がフルランクであるときかつそのときに限り、次元$k$と最小距離$n-k+1$（すなわちMDS）を達成する。これは、$\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$の$\sigma$-最小多項式の次数が$n$に等しいことに同等である。
• $(\sigma,x^n-a)$-歪定数巡回符号の双対は$(\sigma,x^n-a^{-1})$-歪定数巡回符号であり、双対符号の生成多項式は元の生成多項式の$\sigma$-逆元である。
• 古典的一般化リード・ソロモン符号とは異なり、歪評価符号$\mathcal{E}_{\sigma,1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}}$は、任意のモジュラス$f$に対して必ずしも歪巡回的ではない。これは非可換性に起因する重要な相違点である。
• 2種類の歪BCH符号の間には、一般な比較がなされていないため、今後の研究のためのオープンな方向性である。