[論文レビュー] Skolemization for Weighted First-Order Model Counting

Guy Van den Broeck, Wannes Meert+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 38被引用数 70

ひとこと要約

この論文は、重み付き一階モデルカウンティング（WFOMC）のための新しいスコレム化手順を導入し、存在記号を除去しながら重み付きモデル数を変更せずに保つことで、一階確率的モデルにおける効率的なリフトド推論を可能にする。この手法は、理論を関数を含まないスコレム正規形に変換することでドメインリフトドな計算量を維持し、モデル数の等価性を保つ。

ABSTRACT

First-order model counting emerged recently as a novel reasoning task, at the core of efficient algorithms for probabilistic logics. We present a Skolemization algorithm for model counting problems that eliminates existential quantifiers from a first-order logic theory without changing its weighted model count. For certain subsets of first-order logic, lifted model counters were shown to run in time polynomial in the number of objects in the domain of discourse, where propositional model counters require exponential time. However, these guarantees apply only to Skolem normal form theories (i.e., no existential quantifiers) as the presence of existential quantifiers reduces lifted model counters to propositional ones. Since textbook Skolemization is not sound for model counting, these restrictions precluded efficient model counting for directed models, such as probabilistic logic programs, which rely on existential quantification. Our Skolemization procedure extends the applicability of first-order model counters to these representations. Moreover, it simplifies the design of lifted model counting algorithms.

研究の動機と目的

• 既存のリフトド推論アルゴリズムがスコレム正規形（存在記号なし）を必要としているという制限に対処する。これにより、多くの実用的応用における一階確率的モデルが除外される。
• 存在記号を含む理論（例：確率論的論理プログラムや、量化子を含むマルコフ論理ネットワーク）に対し、効率的かつドメインリフトドな重み付き一階モデルカウンティングを可能にする。
• ドメインサイズに依存しないモジュラーで一階的なスコレム化手順を提供し、WFOMCにおける妥当性と正しさを保証する。
• 存在記号の特殊な取り扱いを回避することで、将来のWFOMCアルゴリズムの設計を簡素化する。
• スコレム正規形に限定されない、より広範なクラスの一階理論へ、リフト可能性定理の適用範囲を拡張する。

提案手法

• 存在記号をスコレム述語とTseitin形式の符号化に置き換える一階スコレム化アルゴリズムを提案し、重み付きモデル数の論理的等価性を維持する。
• 存在記号を含む論理式を、関数を含まず、スコレム正規形に変換する変換を導入し、重み付きモデル数を保持する。
• モジュラーなアプローチを採用：入力および出力理論に新しい文を追加しても、その等価性が保たれる。
• 内側の量化子から再帰的に処理し、それらをTseitin述語と補助節に置き換えることで、量化子除去を実行する。
• 入力サイズに対して多項式時間で実行可能であることを保証し、新規に生成される論理式の数とそのサイズを入力サイズの多項式で制限する。
• 変換後の重み付きモデル数の合計が元の理論と同一になるように重みマッピングを定義する。特に、スコレム述語に対して補数の重みを設定することで、バランスを保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 存在記号を除去する方法で、重み付きモデル数を保ちながらリフトド推論を可能にできるか？
• RQ2 関数を導入せず、ドメインリフトドな計算量を維持するWFOMCのためのスコレム化手順を設計できるか？
• RQ3 理論に新しい文を追加する際、変換がモジュラーかつ妥当であることをどのように保証できるか？
• RQ4 この手法により、既存のリフト可能性定理の適用範囲をスコレム正規形を超えて拡張できるか？
• RQ5 提案手法により、存在記号を含む確率論的論理プログラムやマルコフ論理ネットワークにおいて、効率的な推論が可能になるか？

主な発見

• 提案されたスコレム化手順により、元の理論の重み付き一階モデルカウントが、変換後のスコレム正規形理論においても保持される。
• 変換はモジュラーである：入力および出力理論に新しい文を追加しても、その重み付きモデル数の等価性が保たれる。
• アルゴリズムは入力サイズに対して多項式時間で実行可能であり、生成される新規論理式の数とそのサイズは、入力サイズの多項式で抑えられる。
• 本手法により、従来は命題論理推論に還元されていたが、確率論的論理プログラムやマルコフ論理ネットワークにリフトド推論を初めて適用可能にする。
• 存在記号のための特別な推論規則の必要性がなくなるため、将来のWFOMCアルゴリズムの設計が簡素化される。
• 理論を等価なスコレム正規形に変換することで、スコレム正規形でない理論に対してもリフト可能性定理を適用可能にする。この変換は計算効率を損なわない。