[論文レビュー] SKT geometry

Gil R. Cavalcanti|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、閉じた歪対称ねじれを持つHermitian多様体（SKT多様体）に対して、一般化された複素幾何学を用いてHodge理論を開発する。スペクトル系列が最初のページで収束することを確立し、SKT構造の変形の障害を同定する。応用例としてCalabi–Eckmann多様体、インスタントン、ホフ多様体、およびLie群を含む。

ABSTRACT

We use tools from generalized complex geometry to develop the theory of SKT (a.k.a. pluriclosed Hermitian) manifolds and more generally manifolds with special holonomy with respect to a metric connection with closed skew-symmetric torsion. We develop Hodge theory on such manifolds showing how the reduction of the holonomy group causes a decomposition of the twisted cohomology. For SKT manifolds this decomposition is accompanied by an identity between different Laplacian operators and forces the collapse of a spectral sequence at the first page. Further we study the deformation theory of SKT structures, identifying the space where the obstructions live. We illustrate our theory with examples based on Calabi--Eckmann manifolds, instantons, Hopf surfaces and Lie groups.

研究の動機と目的

• 一般化された複素幾何学の道具を用いて、SKT多様体のHodge理論を開発すること。
• 閉じた歪対称ねじれを持つ接続に関する特別なホロノミーが、ねじれコホモロジーの分解をどのように誘導するかを理解すること。
• SKT構造の変形理論を分析し、障害が存在するコホモロジー空間を同定すること。
• Calabi–Eckmann多様体、インスタントン、ホフ多様体、およびLie群を含む具体的な例を通じて理論を提示すること。

提案手法

• 閉じた歪対称ねじれを持つ接続を有するSKT多様体とその構造を、一般化された複素幾何学を用いて分析する。
• Hodge理論を適用し、ホロノミーの低減と関連してねじれコホモロジーを分解する。
• SKT多様体上での異なるラプラシアン作用素の間の恒等式を導出する。
• ねじれde Rham複体に関連するスペクトル系列が、SKT多様体上で最初のページで収束することを確立する。
• コホモロジー的技法を用いて、SKT構造の変形の障害空間を同定する。
• Calabi–Eckmann多様体、インスタントン、ホフ多様体、およびLie群を用いた明示的構成により、理論の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた歪対称ねじれを持つ接続に関するホロノミー群の低減が、多様体のねじれコホモロジーにどのように影響するか？
• RQ2 SKT多様体上でのラプラシアン作用素の間にはどのような恒等式が存在し、それらにどのような幾何的含意があるか？
• RQ3 ねじれde Rham複体に関連するスペクトル系列は、SKT多様体上でどのページで収束するか？
• RQ4 SKT構造の変形の障害が存在するコホモロジー空間は何か？
• RQ5 Calabi–Eckmann多様体やLie群といった例は、開発された理論をどのように具体化するか？

主な発見

• 閉じた歪対称ねじれを持つ接続が誘導するホロノミーの低減により、SKT多様体のねじれコホモロジーは分解する。
• SKT多様体上では、異なるラプラシアン作用素の間の恒等式が確立され、それらは背後にある幾何的制約を反映している。
• ねじれde Rham複体に関連するスペクトル系列は、SKT多様体上で最初のページで収束する。
• SKT構造の変形の障害は、特定のコホモロジー空間に存在し、一般化された複素構造の枠組みにより同定された。
• Calabi–Eckmann多様体、インスタントン、ホフ多様体、およびLie群における明示的構成を通じて、理論の妥当性が検証され、その適用可能性が示された。